Premiers entre eux

[MMu]

Soient les entiers tels que la suite contienne au moins deux entiers premiers entre eux.
Montrer q'il existe une infinité de nombres de la forme premiers entre eux deux à deux .
:zen:

[Hannaut]

Il faut utiliser le théorème de Lagrange

a.b^n+c = 0 implique que ln(a) + ln(n) = 1 donc avec a = b = e on en déduit q'il existe une infinité de nombres de la forme a.b^n = -c soit l'égalité cherchée

:zen:

[Sourire_banane]

Salut,

Je fais remonter ce problème oublié...
Tu veux dire qu'entre deux termes de cette suite il existe au moins deux entiers premiers entre eux ?

[MMu]

Salut,

Je fais remonter ce problème oublié...
Tu veux dire qu'entre deux termes de cette suite il existe au moins deux entiers premiers entre eux ?

Je veux dire que s'il existe deux termes premiers entre eux alors il en existe une infinité
:zen:

[MMu]

Alors personne ? Trop dur ?! :marteau: :zen:

[nodjim]

Pour qu'il y ait au moins 2 premiers entre eux, il faut et il suffit que c soit premier avec ab. Ensuite, le premier nombre trouvé p1 pour n=1, soit ab+c, s'il est premier, reviendra séquentiellement dans la suite (s'ils sont plusieurs premiers, on aura plusieurs séquences). Pour trouver cette séquence, il suffit de faire b^n modulo p1, p1 forcément premier avec b. Tous les nombres ab^n+c qui n'appartiennent pas aux zéros modulo p1 de ab^n+c sont premiers avec ab+c. Et ils sont bien sûr en quantité illimitée.

[MMu]

Pour qu'il y ait au moins 2 premiers entre eux, il faut et il suffit que c soit premier avec ab. Ensuite, le premier nombre trouvé p1 pour n=1, soit ab+c, s'il est premier, reviendra séquentiellement dans la suite (s'ils sont plusieurs premiers, on aura plusieurs séquences). Pour trouver cette séquence, il suffit de faire b^n modulo p1, p1 forcément premier avec b. Tous les nombres ab^n+c qui n'appartiennent pas aux zéros modulo p1 de ab^n+c sont premiers avec ab+c. Et ils sont bien sûr en quantité illimitée.

Mais respectes-tu la condition : les termes de la sous-suite sont premiers entre eux deux à deux ?!
(premiers entre eux deux à deux signifie que pour tout couple U,V de la sous-suite , U et V sont premiers entre eux )
:zen:

[nodjim]

D'accord.
Après avoir défini pour le 1er terme pour n=1 les facteurs premiers, et les n pour lesquels ce ou ces facteurs premiers apparaissent, il n'y a qu'à faire la même chose avec le 1er n pour lequel ab^n+c est premier avec ab+c. On cherche les facteurs premiers et ses séquences.
Comme pour les entiers naturels, si p1, p2..pn sont les nombres premiers détectés, la proportion des n pour lesquels les ab^n+c sont premiers avec p1,p2..pn vaut:
(1-1/p1)(1-1/p2)..(1-1/p3)..(1-1/pn) Proportion qui tend vers zéro mais qui ne peut l'atteindre.

[MMu]

D'accord.
Après avoir défini pour le 1er terme pour n=1 les facteurs premiers, et les n pour lesquels ce ou ces facteurs premiers apparaissent, il n'y a qu'à faire la même chose avec le 1er n pour lequel ab^n+c est premier avec ab+c. On cherche les facteurs premiers et ses séquences.
Comme pour les entiers naturels, si p1, p2..pn sont les nombres premiers détectés, la proportion des n pour lesquels les ab^n+c sont premiers avec p1,p2..pn vaut:
(1-p1)(1-p2)..(1-p3). Proportion qui tend vers zéro mais qui ne peut l'atteindre.

N'importe quoi ... :zen:

[nodjim]

Ce que j'exprimais, c'est que la suite des nombres ab^n+c se crible comme l'a fait Erathostène par les facteurs premiers comme la suite des entiers naturels. Il n'y a pas de différence. Je ne vois pas trop en quoi c'est n'importe quoi....

[Matt_01]

Le tout est de créer une suite , telle que l'ensemble des soient premiers entre eux.
On suppose que l'on a notre suite au rang n.
Il suffit alors que pour tout p premier diviseur d'un pour )).
Alors en posant on a ce qu'on veut.
Cette suite ne peut se définir, que si l'on a déjà deux termes, que l'on peut prendre via les hypothèses.

Quelqu'un voit une erreur ?

[Ben314]

Trés joli, mais il me semble qu'effectivement, il y a quelques petites erreurs :

... et donc en prenant multiple de chacun des p divisant les ...

Il me semble que c'est plutôt "en prenant multiple de chacun des p-1 où p parcours l'ensemble des diviseurs premiers des avec "
vu que Fermat dit que (à condition que p ne divise pas b, ce qui est forcément le cas)

... et donc en prenant multiple du produit des diviseurs premiers de ...

Idem, ça serait pas plutôt "en prenant multiple de chacun des p-1 où p parcours l'ensemble des diviseurs premiers de "

Ce qui semble un peu compliquer la fin vu qu'il n'y a plus trop de raison que alpha et beta soient premiers entre eux...

[Matt_01]

Trés joli, mais il me semble qu'effectivement, il y a quelques petites erreurs :

Il me semble que c'est plutôt "en prenant multiple de chacun des p-1 où p parcours l'ensemble des diviseurs premiers des avec "
vu que Fermat dit que (à condition que p ne divise pas b, ce qui est forcément le cas)


Idem, ça serait pas plutôt "en prenant multiple de chacun des p-1 où p parcours l'ensemble des diviseurs premiers de "

Ce qui semble un peu compliquer la fin vu qu'il n'y a plus trop de raison que alpha et beta soient premiers entre eux...

Arf ouep, le problème de ne pas poser par écrit, on laisse passer des erreurs.
Du coup je ne pense pas qu'on puisse modifier pour que ca marche. J'y réfléchis quand même (car dans le fond on n'utilise pas le fait que alpha et beta sont premiers entre eux, juste que leur pgcd divise k_n-k_1).

[Matt_01]

Est ce que tu as une solution au problème d'ailleurs Ben ?

[Ben314]

Est ce que tu as une solution au problème d'ailleurs Ben ?

ben... non...
(sinon je l'aurai mise...)
Mais n’empêche que je pense que ta démarche "va dans le bon sens", c'est à dire que je dirais bien qu'une preuve de ce type pourrait fonctionner.

Après, j'ai pas regardé de prés non plus ce qu'a écrit Nodjim : il donne "les grandes lignes" d'une preuve et, à mon sens, il faudrait vérifier un peu plus dans le détail si ça marche.

[Doraki]

Comme pour les entiers naturels, si p1, p2..pn sont les nombres premiers détectés, la proportion des n pour lesquels les ab^n+c sont premiers avec p1,p2..pn vaut:
(1-1/p1)(1-1/p2)..(1-1/p3)..(1-1/pn) Proportion qui tend vers zéro mais qui ne peut l'atteindre.

Ce que j'exprimais, c'est que la suite des nombres ab^n+c se crible comme l'a fait Erathostène par les facteurs premiers comme la suite des entiers naturels. Il n'y a pas de différence. Je ne vois pas trop en quoi c'est n'importe quoi....

Ben déjà, si p est premier, la densité des n tels que p divise ab^n+c n'est pas du tout 1/p, mais 1/l'ordre de la classe de b dans (Z/pZ*,x).
Ensuite, les "événements" "p divise ab^n+c" ne sont pas du tout indépendants.

Par exemple pour la suite un = 2^n+1, 3 divise un n est impair ; 5 divise un n = 2 mod 4.
Donc avec seulement ces 2 nombres premiers on enlève les 3 quarts des entiers ce qui en laisse seulement 1/4, et pas (1-1/2)(1-1/4) ni (1-1/3)(1-1/5)

[Ben314]

Pour tout (entiers naturels), on a :

[Ben314]

J'étais partis en commençant comme ça :
[quote="moi-même"]
Si les deux termes de la suite premiers entre eux sont et avec alors en posant et les deux termes deviennent et et, pour tout entier on a qui est bien de la forme .
Cela permet, sans perte de généralité, de supposer que les 2 termes de la suite premier entre eux sont (i.e. ) et (i.e. )
[\QUOTE]
et... ça déconne complet...
Pris texto, l'énoncé est faux : si alors et sont premiers entre eux, mais... tout les autres sont pairs...

[Ben314]

J'étais partis en commençant comme ça :

Si les deux termes de la suite premiers entre eux sont et avec alors en posant et les deux termes deviennent et et, pour tout entier , on a qui est bien de la forme .
Cela permet, sans perte de généralité, de supposer que les 2 termes de la suite premier entre eux sont (i.e. ) et (i.e. )

et... ça déconne complet...
L'énoncé est faux : si alors et sont premiers entre eux, mais... tout les autres sont pairs...

Il faut donc (au minimum) rajouter dans l'énoncé que la suite commence à n=1 et pas à n=0.

[MMu]

J'étais partis en commençant comme ça :

et... ça déconne complet...
L'énoncé est faux : si alors et sont premiers entre eux, mais... tout les autres sont pairs...

Il faut donc (au minimum) rajouter dans l'énoncé que la suite commence à n=1 et pas à n=0.

:marteau: Mea culpa (certains étrangers ne considèrent pas parmi les naturels) ... :zen: