Proba et suites

[didine44]

Bonjour,

J'ai un problème pour commencer un exercice de proba où interviennent les suites.

Voici l'énoncé :
On dispose de deux urnes U1 et U2. On suppose que U1 (respectivement U2) contient p boules blanches et q boules noires (respectivement q boules blanches et p boules noires). On effectue une suite de tirages avec remise d'une boule, soit dans U1, soit dans U2, avec la règle suivante : si à un tirage, on a obtenu une boule blanche alors le tirage suivant s'effectue dans U1, sinon il s'effectue dans U2. Le premier tirage s'effectue dans U1.
Soit Bn l'événement "obtention d'une boule blanche au n-ieme tirage" et soit (Un) la suite donnée par Un = P(Bn).

Voici la première question sur la laquelle je bloque : En utilisant la formule des probabilités totales trouver une relation de récurrence entre Un et Un+1.

Pour commencer j'ai défini An = {tirage dans l'urne U1} et Cn = {tirage dans l'urne U2}?
La relation des proba totales est : P(Bn) = P(Bn An) + P(Bn Cn).

Après je bloque, je me suis dis que si Bn est vrai alors on continue les tirages dans l'urne U1 et on cherche la proba de tirer une boule blanche qui vaut p/(p+q).
J'ai donc mis que U(n+1) = Un + P / (p+q). Mais je suis presque sûre que c'est faux.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver cette relation de récurrence svp

Merci par avance

[Skullkid]

Bonjour, un problème avec ta relation de récurrence c'est que Un va croître indéfiniment (et va finir par dépasser 1, ce qui est gênant pour une probabilité).

Pour commencer, tu peux essayer de faire un lien entre tes événements An et Cn et les événements Bn (ou plutôt B(n-1)). Tu peux ensuite aller plus loin en appliquant la formule des probabilités totales (les seules probabilités que tu sais calculer directement ce sont les probabilités de tirer telle couleur sachant que le tirage se fait dans telle urne).

[didine44]

Si B(n-1) est vraie alors An est vraie et Bn a ensuite une proba de p/ (p+q) de se réaliser.
De même, si B(n-1) est faux alors Cn est vraie et Bn a ensuite une proba de q / (p+q) de se réaliser

[Skullkid]

Oui, en gros, l'événement que tu appelles An c'est l'événement B(n-1), et l'événement que tu appelles Cn c'est son événement contraire (c'est davantage que des "si ... alors", c'est des "si est seulement si"). Donc la formule des probabilités totales te dit :



Ensuite il faut continuer, je te rappelle que la seule probabilité que tu sais calculer c'est celle de tirer telle couleur sachant que tu tires dans telle urne.

[didine44]

Un = P(B(n-1)) * P(Bn | B(n-1)) + P(B(n-1)contraire) * P(Bn | B(n-1)contraire)

[Skullkid]

Oui, maintenant tu sais ce que valent toutes les probas impliquées, ça te donne la relation de récurrence cherchée.

[didine44]

C'est bon je viens de tout remplacer, je te remercie pour ton aide :we:

[Skullkid]

Sauf erreur de ma part, au final tu dois trouver .

[didine44]

C'est bizzare moi je n'obtiens pas ça, si je remplace les valeurs dans la relation que j'ai mise tout a l'heure j'obtiens :

Un = U(n-1) * p /(p+q) + (1-U(n-1)) * q/(p+q)
= U(n-1) * [ (p-q) / (p+q) ] + q /(p+q)

Et je vois pas bien où pourrais se trouver mon erreur puisqu'il nous demande de trouver une récurrence qui lie Un et U(n+1) ce qui revient au même que Un et U(n-1)

[Skullkid]

Ta relation de récurrence est correcte, ce que je t'ai donné au-dessus c'est la valeur de Un une fois la récurrence résolue (c'est probablement la question suivante de ton exercice), pour que tu puisses vérifier.

[didine44]

Ah oui effectivement on me demande plus tard la Un en fonction de n. Merci, ça me permettra de vérifier

[didine44]

Mais je ne sais plus comment on fait quand on a U(n+1) en fonction de Un pour trouver Un en fonction de n. Pourrais tu m'éclairer stp

[chan79]

Mais je ne sais plus comment on fait quand on a U(n+1) en fonction de Un pour trouver Un en fonction de n. Pourrais tu m'éclairer stp

En utilisant la relation de récurrence que tu as trouvée, tu pourrais chercher deux nombres a et b pour que la suite v(n) ci-dessous soit géométrique.
Tu pourras alors exprimer v(n) en fonction de n puis u(n) en fonction de n
v(n)=a*u(n)+b
c'est une méthode assez classique

[geegee]

Bonjour,

J'ai un problème pour commencer un exercice de proba où interviennent les suites.

Voici l'énoncé :
On dispose de deux urnes U1 et U2. On suppose que U1 (respectivement U2) contient p boules blanches et q boules noires (respectivement q boules blanches et p boules noires). On effectue une suite de tirages avec remise d'une boule, soit dans U1, soit dans U2, avec la règle suivante : si à un tirage, on a obtenu une boule blanche alors le tirage suivant s'effectue dans U1, sinon il s'effectue dans U2. Le premier tirage s'effectue dans U1.
Soit Bn l'événement "obtention d'une boule blanche au n-ieme tirage" et soit (Un) la suite donnée par Un = P(Bn).

Un+1=((p/(p+q))+(q/(p+q)):2)(p/(p+q))+1-((p/(p+q))+(q/(p+q)):2)(q/(p+q))

U1=p/(p+q)
U2=(p/(p+q))^2+(q/(p+q))^2
U3=
Voici la première question sur la laquelle je bloque : En utilisant la formule des probabilités totales trouver une relation de récurrence entre Un et Un+1.

Pour commencer j'ai défini An = {tirage dans l'urne U1} et Cn = {tirage dans l'urne U2}?
La relation des proba totales est : P(Bn) = P(Bn An) + P(Bn Cn).

Après je bloque, je me suis dis que si Bn est vrai alors on continue les tirages dans l'urne U1 et on cherche la proba de tirer une boule blanche qui vaut p/(p+q).
J'ai donc mis que U(n+1) = Un + P / (p+q). Mais je suis presque sûre que c'est faux.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver cette relation de récurrence svp

Merci par avance
Bonjour,

P(Bn).=

[didine44]

Sauf erreur de ma part, au final tu dois trouver .

J'ai essayé de chercher comment tu as a fait pour déduire Un en fonction de n une fois que l'on avait U(n+1) en fonction de Un mais je n'y arrive pas. Pourais tu me montrer ou au moins me mettre sur la piste stp

Je sais que U(n+1) = Un [ (p-q) / (p+q) ] + p / (p+q).
Je sais donc que U1 = U0 [ (p-q) / (p+q) ] + p / (p+q).
Mais apres je sais pas quoi faire

[Skullkid]

Il faut suivre l'indication de chan79 : pose Vn = a*Un + b (en fait Vn = Un + b suffit mais ça change pas grand chose) et cherche des valeurs de a et b telles que Vn soit géométrique.

À noter aussi que la suite U est définie sur N* : ça n'a pas de sens de parler du 0ième tirage.

[didine44]

Dans mon exo, on me pose Vn = Un - 1/2.

On me demande de trouver une relation de récurrence entre Vn et V(n+1). J'ai trouvé que V(n+1) = Vn [ (p-q) / (p+q) ].

On me demande ensuite de déduire l'expression de Vn en fonction de n puis clle de Un en fonction de n.

Mais ne vois pas comment je peut choisir deux termes pour trouver une suite géométrique

[chan79]

Dans mon exo, on me pose Vn = Un - 1/2.

On me demande de trouver une relation de récurrence entre Vn et V(n+1). J'ai trouvé que V(n+1) = Vn [ (p-q) / (p+q) ].

On me demande ensuite de déduire l'expression de Vn en fonction de n puis clle de Un en fonction de n.

Mais ne vois pas comment je peut choisir deux termes pour trouver une suite géométrique

si tu pose k=(p-q)/(p+q)

V(1)=V(0)*k
V(2)=V(1)*k
V(3)=V(2)*k
...
...
V(n)=V(n-1)*k
en multipliant membre à membre
V(n)=V(0)*(k^n)