Développement d'une exponentielle à l'aide d'un polynôme

[Mezame]

Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice et, je dois bien admettre que l'un des question me pose pas mal de problème.

La première question du problème nous a permit de remarquer que était solution de .

Toutefois, maintenant, on me demande de montrer que où est un polynôme vérifiant
Et c'est là que se trouve le problème.

Voici déjà ce que j'ai fait :

On a (Développement en série entières)

Donc (Factorisation par n puis binôme de Newton)

Alors (On "fait rentrer" le dans la seconde somme)


Et, là, je bloque. Je pense qu'il faut faire un changement de variable afin d'obtenir un terme de la forme (et, donc, logiquement, on devrait poser ), afin de pouvoir obtenir le polynôme recherché, mais je n'y parviens pas. )
Je vous avouerais donc qu'un petit coup de pouce ne serait pas de refus.


Je vous remercie d'avance,


Mezame.

[st00pid_n00b]

Bonsoir,

Tu es sur que Pn doit vérifier cette relation pour tout n ? Parce que déjà ça marche pas pour n = 1.

[Mezame]

Bonsoir,

Tu es sur que Pn doit vérifier cette relation pour tout n ? Parce que déjà ça marche pas pour n = 1.

Oui, je dois trouver un polynôme Pn vérifiant cette relation quel que soit n.