Nombre complexe

[samirou]

Bonjours j ai un exercice mais je suis bloqué à la question 4°/ quelqu'un pourra t-il m'aider

Soit l’équation z^2-2pz+1=0 avec p=sina+icosa. z1 et z2 sont les solutions.
1°/ Montrer que les modules de z1 et z2 sont inverses l’un de l’autre et que leurs arguments sont opposés sans les calculer.
2°/ Déterminer a pour que z1 et z2 soient réels puis soient imaginaires purs.
3°/ Calculer |z1-p| et |z2-p|
4°/ Montrer que z1+i et z2+i ont même module que l’on calculera en fonction de a lorsque cosa est négatif. Que se passe-t-il lorsque cosa est positif ?
5°/ Calculer les nombres complexes suivants en fonction de p
Z= 1/z1 +1/z2 , Z'=z1^2+z1 z2+z2^2, Z''=z1^3+z2^3

[chan79]

Bonjours j ai un exercice mais je suis bloqué à la question 4°/ quelqu'un pourra t-il m'aider

Soit l’équation z^2-2pz+1=0 avec p=sina+icosa. z1 et z2 sont les solutions.
1°/ Montrer que les modules de z1 et z2 sont inverses l’un de l’autre et que leurs arguments sont opposés sans les calculer.
2°/ Déterminer a pour que z1 et z2 soient réels puis soient imaginaires purs.
3°/ Calculer |z1-p| et |z2-p|
4°/ Montrer que z1+i et z2+i ont même module que l’on calculera en fonction de a lorsque cosa est négatif. Que se passe-t-il lorsque cosa est positif ?
5°/ Calculer les nombres complexes suivants en fonction de p
Z= 1/z1 +1/z2 , Z'=z1^2+z1 z2+z2^2, Z''=z1^3+z2^3

Bonjour
Mets déjà tes calculs pour le début

[samirou]

voici mes résultats
1°/ z1×z2=1 donc z2=1/z2 et arg(z1×z2)=arg(1)=0 (2;)) donc arg(z2)=-arg(z1)

2°/ z1est réel si et seulement si z1=(z1 bar )
z1^2-2pz1+1=0 donc (z1 bar)²-2p(bar)(z1bar +1=0
ALORS -2pz_1=-2p bar(z1 bar)
DONC p bar=p d’où p est réel donc cosa=0 d où a=;)/2+k;)

z1est imaginaire pur si et seulement si et seulement si z1=-(z1bar)
z1^2-2pz1+1=0 donc (z1bar)²-2pbar(z1 bar) +1=0
z1=-(z1bar) DONC (z1bar)²+2pbar(z1bar+1=0
AINSI pbar=-p
p est donc imaginaire pur d’où sin a=0 alors a=k;)

3°/ Après tout calcul on trouve |z1-p|=|z2-p|=;)(2×|cosa |)

[romani01]

Salut.
Tu es sur que ?.
C'est la meme remarque pour .
3°) On peut aussi utiliser .
Je pense qu'il y'a une erreur dans ton calcul du discriminant.J'ai trouvé :
.
Sauf erreur de ma part.

[chan79]

Salut.
Tu es sur que ?.
C'est la meme remarque pour .
3°) On peut aussi utiliser .
Je pense qu'il y'a une erreur dans ton calcul du discriminant.J'ai trouvé :
.
Sauf erreur de ma part.

Salut
pour le 2°
z²-2pz+1=0
z1 ne peut pas être nul car on aurait 1=0
si z1 est réel alors p est réel car p=(z²+1)/(2z)
idem pour z2
Supposons maintenant que p soit réel
on a donc cos a=0 et donc sin²a=1 et aussi p=1 ou -1
l'équation est
z²-2z+1=0 ou z²+2z+1=0
les solutions sont bien réelles (et doubles)
z1 et z2 sont donc réelles ssi p est réel soit cos a=0 soit a=pi/2+k*pi
de la même façon, z1 et z2 sont imaginaires purs si p est imaginaire pur, c'est-à-dire si a=k*pi
pour le 3°
je confirme ton résultat

[samirou]

Voici mes calculs détaillés
z1^2-2pz1+1=0 SSSI (z1-p)^2+1-p^2=0
SSSI (z1-p)^2=p^2-1
SSSI (z1-p)^2=(sina+icos a)^2-1
SSSI (z1-p)^2=(sina+icos a)^2-1
(z1-p)^2 =(exp(i(;)/2-a))²-1
(z1-p)^2 =exp(i(;)-2a)-1
(z1-p)^2 =exp(i(;)/2-a)[exp(i(;)/2-a)-exp(-i(;)-a)]
(z1-p)^2 =2isin(;)/2-a)exp(i(;)/2-a)
(z1-p)^2 =2icosaexp(i(;)/2-a)
D’où |z1-p|²=2|cosa| DONC |z1-p|=;) (2×|cosa |)
Mais aidez moi sur la question 4°/ J'ai essayé mais ça n'a pas marché

[Manny06]

Voici mes calculs détaillés
z1^2-2pz1+1=0 SSSI (z1-p)^2+1-p^2=0
SSSI (z1-p)^2=p^2-1
SSSI (z1-p)^2=(sina+icos a)^2-1
SSSI (z1-p)^2=(sina+icos a)^2-1
(z1-p)^2 =(exp(i(;)/2-a))²-1
(z1-p)^2 =exp(i(;)-2a)-1
(z1-p)^2 =exp(i(;)/2-a)[exp(i(;)/2-a)-exp(-i(;)-a)]
(z1-p)^2 =2isin(;)/2-a)exp(i(;)/2-a)
(z1-p)^2 =2icosaexp(i(;)/2-a)
D’où |z1-p|²=2|cosa| DONC |z1-p|=;) (2×|cosa |)
Mais aidez moi sur la question 4°/ J'ai essayé mais ça n'a pas marché

c'est correct pour tes modules

[romani01]

Salut.
J'ai lu p=cosa+isina au lieu de p=sina+icosa .Cela change tout.
Je suis désolé de t'avoir retardé Samirou et merci Chan pour tes explications et ta patience.

[samirou]

bonjour c'est bien p=sin a +icosa mais je ne vois pas encore une erreur sinon c'est en quel point? vous pouvez m'expliquer d'avantage et dites mois que vous pensez de la question 4°/ MERCI POUR VOTRE AIDE

[chan79]

bonjour c'est bien p=sin a +icosa mais je ne vois pas encore une erreur sinon c'est en quel point? vous pouvez m'expliquer d'avantage et dites mois que vous pensez de la question 4°/ MERCI POUR VOTRE AIDE

je vais réfléchir à la 4° qui n'a pas l'air commode (ou alors il y a une astuce à voir ...)
il "semble" que |z1+i|=|z2+i|=racine(2) tant que cos a 0, il semble qu'il existe un réel k tel que z1+i= k(z2+i) autrement dit les points d'affixe z1+i et z2+i sont alignés avec l'origine. Mais tout ça, il faut le démontrer ... :hum:
Au fait, tu es en quelle classe ?

[samirou]

je suis en classe de terminale S

[chan79]

je suis en classe de terminale S

OK
je viens de montrer que |z1+i| est égal à à la condition que cos a <0
mais le calcul est un peu long, je vais t'en donner la démarche:
z²-2pz+1=0
le discriminant réduit est
p²-1=sin²a -cos²a+2isin a cosa-1
p²-1=(sin²a -cos²a-1)+2isina cosa
p²-1=-2cos²a+i(2sina cos a)
p²-1=2cosa (-cosa +i sina)
p²-1=2cosa (cos(pi-a)+i(sin(pi-a)
p²-1=2cosa (cos((pi-a)/2)+isin((pi-a)/2))²
p²-1=2cosa (sin(a/2)+i cos(a/2))²
SUPPOSONS cos a <0
p²-1= ( )²*i²* (racine(|cosa|))²*(sin(a/2)+i cos(a/2))²
Finalement
p²-1 est le carré de *i* racine(|cosa|)*(sin(a/2)+i cos(a/2))
Nommons l'une des racines z1
z1+i=p+ *i* racine(|cosa|)*(sin(a/2)+i cos(a/2))+i
tu mets ce résultat sous la forme A+iB et tu calcules A²+B² et tu trouves 2
en cours de calcul, j'ai utilisé sin(x-y)=sinx cosy - siny cosx
Ensuite il faut faire la même chose avec z2 (on peut faire les deux d'un seul coup en insérant une lettre égale à 1 ou -1, souvent on utilise la lettre epsilon)
Sans doute y a-t-il plus simple :hum:

[samirou]

Merci beaucoup et si cos a>0 que peut-on conclure

[chan79]

Merci beaucoup et si cos a>0 que peut-on conclure

les points d'affixe z1+i, z2+i sont alignés avec l'origine
on exprime z1+i et z2+i en fonction de a et on utilise une condition de colinéarité
Si tu connais geogebra, tu peux vérifier tous ces résultats.

[Manny06]

les points d'affixe z1+i, z2+i sont alignés avec l'origine
on exprime z1+i et z2+i en fonction de a et on utilise une condition de colinéarité
Si tu connais geogebra, tu peux vérifier tous ces résultats.

Une idée pour utiliser tes calculs
p=ie^(-ia) p²-1=-2cosa *e^-ia si cosa <0 une des racines carrées de p²-1 est V(-2cosa)e^(-ia/2)
qu'on notera re^(-ia/2) avec r réel positif
z1+i=ie^(-ia)+i+re^(-ia/2) on met e^(-ia/2) en facteur
z1+i=e^(-ia/2)[2icosa/2 +r]
de même
z2+i=e^(-ia/2)[2icosa/2-r]
d'où
|z1+i|=|z2+i|=V(4cos²a/2+r²]=[V4cos²a/2-2cosa]=V2

[Manny06]

[quote="Manny06"]Une idée pour utiliser tes calculs
p=ie^(-ia) p²-1=-2cosa *e^-ia si cosa 0 p²-1 =2cosa*e^(-ia+ipi) une des racines carrées de p²-1 est
V2cosa*e^(-ia/2)*e^(ipi/2) qu'on notera iRe^(-ia/2) avec R=V2cosa
de ma même façon que précedemment en mettant e(-ia/2) en facteur on obtient
z1+i =e^(-ia/2)[2icosa/2+iR]
et z2+i=e^(-ia/2)[2icosa/2-iR]

donc (z1+i)/(z2+i) =(2cosa/2+R)/(2cosa/2-R) est réel

[samirou]

Comme le module est égale à ;)2 DONC ne dépend pas de a, alors est ce qu'il est nécessaire de dire si cos a est négatif ou positif

[chan79]

Comme le module est égale à 2 DONC ne dépend pas de a, alors est ce qu'il est nécessaire de dire si cos a est négatif ou positif

oui, il n'est constant ( et égal à racine(2) ) que si cos a <0.
Il dépend bien de a.