Aide devoir etude de fonctions

[Nicolas_75]

B.1.c
Indice : dans (1), prendre x quelconque, et y=0.

[Kameron]

Ok je vois. Merci encore :)
Je vais réfléchir aux prochaines questions un petit moment et si je ne trouve pas j'irai me coucher tant pis... (GMT+11 ici) Je me suis couché à 4h du mat la nuit dernière :/
A moins qu'une âme généreuse ne m'aides :)

[Nicolas_75]

Je t'en prie.

Je dois vraiment y aller...

B.1.d. probablement procéder par récurrence, en utilisant (1)
En déduire en utilisant la continuité que g(0) = 0, donc que la fonction est nulle (d'après la question précédente).
EDIT : tu peux faire la fin de cette question même si tu n'as pas réussi à montrer la formule "pour tout n..."

B.1.e. On peut procéder par l'absurde. Si la fonction change de signe, alors elle s'annule (puisqu'elle est continue). Donc, d'après 1.d., elle est nulle. Contraire à l'hypothèse.

[Kameron]

Ah! je viens de trouver la 1c!
on a avec y=o et x quelconque:
(g(x))²=0 d'où g(x)=0

Par contre pour les questions suivantes je n'ai aucune idée....

[Nicolas_75]

Malgré mes indices ci-dessus ?

[Kameron]

Oui :/
J'essayerai de chercher plus tard dans la journée, à la même heure qu'hier (là j'ai cours :/), si par chance tu est la.

[Nicolas_75]

B.1.d.
1- En prenant x=y=z/2 dans (1), montre :
g(z)=0 => g(z/2) = 0
2- Grâce à un raisonnement par récurrence très simple, déduis-en que :
g(x0)=0 => pour tout n, g(x0/2^n)=0
3- Fais tendre n vers l'infini, utilise la continuité de g, et déduis-en que g(0)=0
4- Utilise 1.c pour conclure que g est l'application nulle.

B.1.e.
Soit g vérifiant (1).
On veut montrer : g non fonction nulle => g est strictement positive OU BIEN strictement négative.
Il est équivalent de montrer la contraposée :
g admet des valeurs > 0 ET g fonction nulle.

Supposons donc que g admet des valeurs > 0 ET < 0
D'après un théorème du cours, on peut en déduire que g s'annule en un point.
Utilise la question précédente pour montrer que g est une fonction nulle.
CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

[Kameron]

B1D:
1. Je tombe sur g(z).g(0)= (g(z/2))^4 :/

B1E: Si g admet des valeurs positives et négatives, alors elle s'annule en un point tel que g(xo)=0. Or, nous avons démontré que dans ce cas précis g est bien la fonction nulle. Donc pour tout x appartenant à R, on a bien soit g(x)<0, soit g(x)>0.

2a. h(0)=ln(g(0)). D'après 1b, g(0) ne peut prendre que trois valeurs. Or par hypothèse g(x)>0. Donc on a g(0)=1 (Cf 1b), avec ln(1)=0. On a bien h(0)=0.

2b. Je suppose qu'il faut utiliser (1) et utiliser ln mais je ne trouve pas comment :/

2c. Fonction paire= f(-x)=f(x), mais là encore malgré mon plus grand dévouement je n'ai pas trouvé le bon parcours...

2d. Suite géomètrique? là encore...

Et le reste, je n'arrive même pas à en tirer quelquechose :/

[Nicolas_75]

B.1.d.

1- En prenant x=y=z/2 dans (1), on obtient, comme tu l'as trouvé : g(z).g(0)= (g(z/2))^4
Pourquoi ne continues-tu pas ?
On en déduit : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0
EDIT : ou si tu préfères : g(x0)=0 => g(x0/2) = 0

2- Grâce à un raisonnement par récurrence très simple, déduis-en ensuite que :
g(x0)=0 => pour tout n, g(x0/2^n)=0

3- Fais tendre n vers l'infini, utilise la continuité de g, et déduis-en que g(0)=0

4- Utilise 1.c pour conclure que g est l'application nulle.

[Nicolas_75]

B.1.e

Trois remarques sur ton texte

B1E: Si g admet des valeurs positives et négatives, alors elle s'annule en un point tel que g(xo)=0. Or, nous avons démontré que dans ce cas précis g est bien la fonction nulle. Donc pour tout x appartenant à R, on a bien soit g(x)0.

(i) Précise au début "Raisonnons par l'absurde", sinon on ne comprend pas ce que tu fais.

(ii) "Si g admet des valeurs positives et négatives, alors elle s'annule en un point tel que g(xo)=0" C'est juste, mais il faut le justifier (par un théorème du cours lié à la continuité)

(iii) "Donc pour tout x appartenant à R, on a bien soit g(x)0" C'est FAUX d'un point de vue logique. Il faut conclure : "Donc (EDIT) notre hypothèse de départ est fausse, on a bien soit g(x)0 pour tout x appartenant à R"
(Le "pour tout" n'est pas au même endroit.)

Nicolas

[Nicolas_75]

B.2.a. OK

B.2.b.

Je suppose qu'il faut utiliser (1) et utiliser ln mais je ne trouve pas comment :/

Oui, mais as-tu bien cherché ? Il suffit de prendre le logarithme néperien (ln) de chaque membre de (1) !!

B.2.c.

Fonction paire= f(-x)=f(x), mais là encore malgré mon plus grand dévouement je n'ai pas trouvé le bon parcours...

C'est toujours le même genre d'astuce. Prends x=0 et garde y quelconque.

B.2.d.

Suite géomètrique? là encore...

Je ne vois pas où il y a une suite géométrique dans cette affaire.
Cette question est du même genre que B.1.d.
J'imagine qu'il faut prendre y=1 et garder x quelconque, puis utiliser la relation obtenue pour mettre en oeuvre le raisonnement par récurrence proposé.

Nicolas

[Kameron]

B1E. En effet j'ai oublié la continuité. Mais comment affirmer qu'une fonction non connue est continue?

B1D. Si je comprends bien, tu as pris z=xo? Dans ce cas je comprends. Mais comment prouver ceci par récurrence? Car (g(z/2))^n sera toujours nul puisque g(z)=0 non? Ou peut être que je me trompe je crains ne pas trop comprendre la résolution de cette question :/

B2b ln(g(x+y)).ln(g(x-y))= ln(g(x).g(y))²?
Je vois bien que ln(g(x).g(y))²=2ln(g(x).g(y)) si je me rappelle bien mon cours... cela se rapproche deja plus du second membre de ce que l'on doit trouver mais je n'arrive pas au bout :/

B2C J'ai trouvé grâce à toi :)
Pour h: h(y)+h(-y)=2h(y) <=> h(-y)=h(y) => fonction paire
Pour g: g(y).(-y)=g(y)² <=> g(-y)=g(y) => fonction paire

B2d On a h(1)=a , h(2)=4a et h(3)=9a, c'est bien ca?
Par contre pour la démonstration par récurrence je ne vois pas comment m'y prendre.

Merci de tes réponses :)

[Nicolas_75]

B.1.d.

Si je comprends bien, tu as pris z=xo? Dans ce cas je comprends. Mais comment prouver ceci par récurrence? Car (g(z/2))^n sera toujours nul puisque g(z)=0 non? Ou peut être que je me trompe je crains ne pas trop comprendre la résolution de cette question :/

Tu as montré : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0 (*). Laissons cela de côté un instant.
On suppose que g(x0)=0. On te demande maintenant de montrer par récurrence que, pour tout n entier naturel, g(x0/2^n)=0.
Initialisation : à toi de jouer
Hérédité : suppose que g(x0/2^n)=0 et montre que g(x0/2^(n+1))=0 en utilisant (*)

B.1.e.

En effet j'ai oublié la continuité. Mais comment affirmer qu'une fonction non connue est continue?

Mais n'est-ce pas marqué dans l'énoncé, juste en-dessous de "Partie B" ?!!

B.2.b.

ln(g(x+y)).ln(g(x-y))= ln(g(x).g(y))²?
Je vois bien que ln(g(x).g(y))²=2ln(g(x).g(y)) si je me rappelle bien mon cours... cela se rapproche deja plus du second membre de ce que l'on doit trouver mais je n'arrive pas au bout :/

Le problème, c'est apparemment que tu n'as pas appris ton cours !
Je t'ai dit de prendre le ln de chaque membre.
Pour le membre de gauche, cela donne ln[g(x+y)g(x-y)].
Maintenant, utilise la forme ln(a*b)=...

B.2.d.

On a h(1)=a , h(2)=4a et h(3)=9a, c'est bien ca?
Par contre pour la démonstration par récurrence je ne vois pas comment m'y prendre.

Je t'ai dit comment faire dans un précédent message.
Prends y=1 et x=n dans la relation de l'énoncé. On obtient :
pour tout n, h(n+1) + h(n-1) = 2(h(n)+a)
c'est-à-dire :
h(n+1) = 2h(n) - h(n-1) + 2a (**)
Utilise cette relation (**) pour montrer par récurrence ce que l'énoncé demande.

Nicolas

[Nicolas_75]

(Je m'absente et reviens dans 2h, c'est-à-dire à 15h, heure de Paris)

[Kameron]

Ah! je n'avais pas vu qu'elles étaient supposées continues :/
Je refais donc ma demonstration:

B1E: Raisonnons par l'absurde. Si g admet des valeurs positives et négatives, et g étant continue par hypothèse, alors elle s'annule en un point tel que g(xo)=0. Or, nous avons démontré que dans ce cas précis g est bien la fonction nulle. Donc notre hypothèse de départ est fausse, on a bien soit g(x)<0 pour tout x appartenant à R, soit g(x)>0 pour tout x appartenant à R.

B1D: je n'ai toujours rien réussi à prouver..

B2B: ln[g(x+y)g(x-y)] = ln(g(x).g(y))²
<=> ln(g(x+y)) + ln(g(x-y)) = 2ln(g(x).g(y))
<=> ln(g(x+y)) + ln(g(x-y)) = 2ln(g(x)) + 2ln(g(y))
Or h(x) = ln(g(x))
D'où h(x+y)+h(x-y) = 2h(x) + 2h(y)
<=> h(x+y)+h(x-y) = 2(h(x)+h(y))

C'est bon? :D

B2D: J'ai cherché mais je n'ai pas trouvé :/

[Kameron]

J'ai encore réfléchi jusqu'a maintenant pour la 1d et 2d mais je ne trouve pas... J'ai encore 24h pour finir le devoir et il me reste la 2e et 2f également qui m'ont lair assez compliquées :/

Au fait pour la 2D, les réponses pour h(2) et h(3) que j'ai ecrites quelques posts avant sont justes?

[Nicolas_75]

B.1.d et B.2.d sont des raisonnements par récurrence très simples.
Tu sais ce qu'est un raisonnement par récurrence, tout de même ?

Commence par B.1.d, qui est plus facile que l'autre.
Je t'ai déjà mâché le travail :

"Tu as montré : pour tout z, g(z)=0 => g(z/2) = 0 (*). Laissons cela de côté un instant.
On suppose que g(x0)=0. On te demande maintenant de montrer par récurrence que, pour tout n entier naturel, g(x0/2^n)=0.
Initialisation : à toi de jouer
Hérédité : suppose que g(x0/2^n)=0 et montre que g(x0/2^(n+1))=0 en utilisant (*)"

Donne-moi quelque chose à corriger...

Nicolas

[Kameron]

Un raisonnement par récurrence, si je me rappelle bien, c'est prouver qu'une propriété est vraie pour n, et ensuite pour n+1 de manière à la prouver pour tout n. Non? Mais dans ces cas la je ne trouve pas comment procéder :/

[Kameron]

Moi tout ce que je vois, et si encore bien sur je me trompes pas c'est que:

pour n=1 on a g(xo/2)= racine^4(gxo.g0)=0
Si cela est bien juste, quel que soit le n le résultat est le même... donc je vois pas quoi prouver

[Nicolas_75]

Tu ne maîtrises pas encore le raisonnement par récurrence. Relis ton cours à ce sujet. Revois d'autres exercices impliquant une récurrence, et propose quelque chose ici.