Fonctions

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Nitronque
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fonctions

par Nitronque » 14 Mar 2012, 14:07

bonjour à tous

on me demande quelles sont les fonctions y = f(x) qui vérifient l'égalité :

f(x) + f(x') = f(xx').

Je pense bien sûr à la fonction ln, ainsi qu'aux autres fonctions log ds d'autres bases.

Y en a-t-il d'autres ?

A propos des bases des fonctions log, est ce que j'ai bien retenu ? Tt nbre réel non nul et différent de 1 peut être base d'une fonction log ?

Merci de me dire



ev85
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par ev85 » 14 Mar 2012, 14:18

Nitronque a écrit:bonjour à tous

on me demande quelles sont les fonctions y = f(x) qui vérifient l'égalité :

f(x) + f(x') = f(xx').

Je pense bien sûr à la fonction ln, ainsi qu'aux autres fonctions log ds d'autres bases.

Y en a-t-il d'autres ?

A propos des bases des fonctions log, est ce que j'ai bien retenu ? Tt nbre réel non nul et différent de 1 peut être base d'une fonction log ?

Merci de me dire


Bonjour,

Pour savoir s'il y en a d'autres, ma réponse sera provocatrice : ça dépend !

amicalement,

e.v.

Nitronque
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par Nitronque » 14 Mar 2012, 14:23

ev85 a écrit:Bonjour,

Pour savoir s'il y en a d'autres, ma réponse sera provocatrice : ça dépend !

amicalement,

e.v.



C'est embêtant que vs me répondiez comme ça, parce que maintenant qu'une réponse est apportée, la plupart des personnes, pr ne pas dire toutes, qui pourraient répondre ne liront plus le sujet, et moi je ne suis pas plus avancé...

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chan79
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par chan79 » 14 Mar 2012, 14:44

Nitronque a écrit:bonjour à tous

on me demande quelles sont les fonctions y = f(x) qui vérifient l'égalité :

f(x) + f(x') = f(xx').

Je pense bien sûr à la fonction ln, ainsi qu'aux autres fonctions log ds d'autres bases.

Y en a-t-il d'autres ?

A propos des bases des fonctions log, est ce que j'ai bien retenu ? Tt nbre réel non nul et différent de 1 peut être base d'une fonction log ?

Merci de me dire

salut
si la fonction que tu cherches est dérivable et si tu dérives par rapport à x' et que tu remplaces ensuite x' par 1:
f'(x')=xf'(xx')
f'(1)=xf'(x)
f'(x)= si x est différent de 0
tu as aussi f(1)=0 en remplacant x et x' par 1
Avec ça, tu devrais t'en sortir
Par ailleurs, la fonction nulle convient

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chan79
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par chan79 » 14 Mar 2012, 15:10

chan79 a écrit:salut
si la fonction que tu cherches est dérivable et si tu dérives par rapport à x' et que tu remplaces ensuite x' par 1:
f'(x')=xf'(xx')
f'(1)=xf'(x)
f'(x)= si x est différent de 0
tu as aussi f(1)=0 en remplacant x et x' par 1
Avec ça, tu devrais t'en sortir
Par ailleurs, la fonction nulle convient

je viens de voir que si une telle fonction f est définie pour 0, alors
f(x)+f(0)=f(x*0)
f(x)+f(0)=f(0)
donc f(x)=0
c'est la fonction nulle

ev85
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par ev85 » 14 Mar 2012, 15:31

Nitronque a écrit:C'est embêtant que vs me répondiez comme ça, parce que maintenant qu'une réponse est apportée, la plupart des personnes, pr ne pas dire toutes, qui pourraient répondre ne liront plus le sujet, et moi je ne suis pas plus avancé...


Visiblement ta prophétie ne s'est pas accomplie !

Effectivement, la fonction nulle convient aussi.

D'autre part en posant et , ton problème revient à trouver toutes les fonctions vérifiant , .

Tout simplement

e.v.

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chan79
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par chan79 » 14 Mar 2012, 16:00

chan79 a écrit:je viens de voir que si une telle fonction f est définie pour 0, alors
f(x)+f(0)=f(x*0)
f(x)+f(0)=f(0)
donc f(x)=0
c'est la fonction nulle

Tiens, une autre remarque:
si f est définie pour 1, pour -1, pour un nombre a et son opposé :
f(1)=0 déjà montré plus haut
f(-1)+f(-1)=f(1)=0
2f(-1)=0
donc f(-1)=0
et aussi
f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
elle est donc paire si son domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
D'après ce que j'ai mis plus haut, si on cherche les fonctions définies sur R+* ce sont les fonctions logarithme (et la fonction nulle) mais il faudrait arriver à démontrer que de telles fonctions sont dérivables. C'est sans doute le point le plus délicat.

ev85
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par ev85 » 14 Mar 2012, 16:41

chan79 a écrit: il faudrait arriver à démontrer que de telles fonctions sont dérivables. C'est sans doute le point le plus délicat.


Bonjour Chan.

C'est tellement délicat que c'est impossible.

amicalement,

e.v.

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par chan79 » 14 Mar 2012, 17:43

ev85 a écrit:Bonjour Chan.

C'est tellement délicat que c'est impossible.

amicalement,

e.v.

tu peux démontrer que c'est impossible ?

ev85
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par ev85 » 14 Mar 2012, 18:13

chan79 a écrit:tu peux démontrer que c'est impossible ?


Non, et tu vas comprendre pourquoi.

Je reprends la notation . vérifie , .

À partir de là, tu peux démontrer que , . Une autre façon de voir c'est de dire que est une application linéaire de dans vu comme espace vectoriel.

Si tu admets l'axiome du choix, il existe une base de vu comme (ce qu'on appelle une base de Hamel. Alors tu définis une application linéaire par l'image d'une base, par exemple Tu obtiens ainsi une fonction solution, puis en composant par un logarithme, une solution non triviale pour .

Comme tu l'as dit plus haut, n'est pas dérivable. Il est facile de voir qu'elle n'est pas de ce fait continue ni même (Lebesgue) mesurable sur un intervalle d'intérieur non vide.

Tout ceci dans le cadre de l'axiome du choix. Tu me diras, sans axiome du choix il est probablement impossible de définir le logarithme (je n'ai pas vérifié...)

amicalement,

e.v.

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par chan79 » 14 Mar 2012, 23:28

chan79 a écrit:tu peux démontrer que c'est impossible ?

On peut quand même démontrer la continuité si on suppose qu'elle est continue en un nombre a:
******
Supposons que f soit définie sur R+* et que f(xx’)=f(x)+f(x’) pour tout (x,x’)
Soit a>0
Supposons que f soit continue en a
Montrons qu’elle est continue en tout b>0
b+h=(b/a)*(a + ah/b)
f(b+h)=f(b/a)+f(a + ah/b)
comme f est continue en a, la limite quand h tend vers 0 de f(a+ah/b) est f(a)
et f(b+h) tend vers f(b/a)+f(a)=f((b/a)*a)=f(b)
donc f est continue en b.
Conclusion
Si une fonction f est définie sur R+* et qu’elle vérifie f(x x’)=f(x)+f(x’) pour tout (x,x’) et qu’elle est continue en un point de R+*, alors elle est continue sur R+*.
Je ne sais pas s'il existe des fonctions qui vérifient f(xx’)=f(x)+f(x’) pour tout (x,x’)
et qui ne sont continues en aucun point ....

Ensuite, il faudrait démontrer la dérivabilité ....

 

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