Question con sur l'indéterminée

[Judoboy]

Bon je vais passer pour un n00b complet mais ça fait trop longtemps que ça me trotte dans la tête et j'ai trouvé de réponse nulle part.

Si on a un polynôme de A[X], avec A un anneau commutatif, qu'est-ce qu'on a le droit de "mettre à la place de X" ? (sur quoi on peut évaluer le polynôme en gros ?). Les A-modules ? Plus que ça ? Moins que ça ? Rien à voir ? La question n'a aucun sens ?

Bref si quelqu'un peut m'éclairer là-dessus, ça m'embrouille depuis pas mal de temps...

[Skullkid]

Salut, je suis pas entièrement sûr de ma réponse donc il serait sage d'attendre confirmation de quelqu'un qui s'y connaît mieux, mais je dirais qu'il faut avoir une algèbre sur ton anneau puisque la seule structure de module ne permet pas de donner un sens à l'élévation à la puissance n.

[Nightmare]

Salut,

Si j'ai bien compris ta question, pour pouvoir évaluer en un élément d'un ensemble E, il faut pouvoir :

1) Définir l'exponentiation dans E
2) Définir la multiplication externe AxE -> E
3) Définir la somme entre les éléments de E.

Donc a priori, il suffit juste de pouvoir munir E de deux lois internes et d'une loi externe. Sans plus de propriétés sur les lois, ce genre de structure ne porte pas de nom particulier.

[Judoboy]

En effet c'est beaucoup plus proche d'une structure d'algèbre que d'une structure de module ; il faut quand même donner un sens à la puissance, ce qui n'est pas le cas a priori sur un module. Mais c'est vrai qu'on n'a pas forcément besoin d'une multiplication interne pour définir la puissance (mais ça serait bizarre).

En fait ce qui me pose problème c'est qu'on cherche souvent les racines d'un polynôme sur un K dans une extension de K, mais pourquoi pas dans n'importe quelle K-algèbre ou dans n'importe quelle structure où ça a un sens ?

[Doraki]

J'imagine que tu veux que ton évaluation soit un morphisme de A-algèbres, donc il te faut une A-algèbre (un anneau qui contient A).

[Elerinna]

Après vérification, le terme est dépendant de la notation : si est l'anneau des polynômes, est un A-Module ou (sous)-anneau et un espace vectoriel du corps ; tandis que désigne une A-Algèbre. Au sein de structures algébriques munies de lois de compositions interne et externe, "un module est à un anneau ce qu'un espace vectoriel est à un corps".