Pouvez-vous m'aider a résoudre un exercice sur les séries de Fourier SVP:
Soit f(x) la fonction de période 2
a) Ecrire la série de fourier de f.
b) Etudier la convergence.
Je vous remercie de votre aide.
Séries de Fourier
6 messages
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Séries de Fourier
par nadoushka » 11 Juin 2006, 00:22
Salut à vous,
Pouvez-vous m'aider a résoudre un exercice sur les séries de Fourier SVP:
Soit f(x) la fonction de période 2
, valant 1 si 
et valant 0 si 
.
a) Ecrire la série de fourier de f.
b) Etudier la convergence.
Je vous remercie de votre aide.
Pouvez-vous m'aider a résoudre un exercice sur les séries de Fourier SVP:
Soit f(x) la fonction de période 2
a) Ecrire la série de fourier de f.
b) Etudier la convergence.
Je vous remercie de votre aide.
par mathelot » 11 Juin 2006, 08:31
La série de fourier de f est la série trigonométrique (c.a.d formée avec des sinus et cosinus) définie par:
+b_{n}sin(nx))
les intégrales:
cos(nt) dt)
sin(nt) dt)
permettent de calculer ses coefficients.
f étant de classe
par morceaux, sa série
de fourier converge simplement vers+f(x-)}{2})
en tout point x et uniformément vers f(x) sur tout intervalle fermé de continuité.
les intégrales:
permettent de calculer ses coefficients.
f étant de classe
de fourier converge simplement vers
par nadoushka » 11 Juin 2006, 14:10
En fait, j'ai cherché mais je suis pas sure de ce que j'ai trouvé.
Voila ce que j'ai trouvé, pouvez-vous me corriger si besoin merci.
Mon raisonnement:
On sait que
, f est impaire,
d'ou
et sinnx dx)
= ^{n}-1])
Donc^{n}-1])
.
Donc suivant les valeurs de n(paire ou impaire), on détermine
.
D'ou
, 
et
})
.
, =0)
, on aura alors:
cosnx dx =0)
et 
.
J'en déduis donc la série de Fourier de
qui donne:
= \displaystyle { \sum_{p=0}^{\infty} \frac{4}{\pi (2p+1)} sin(2p+1)x})
.
Voila pour la premiere question.
On me demande ensuite de tracer le graphe de la somme de cette série,je sais vraiment pas comment on fait.
Mais merci de me corriger si j'ai fait une erreur pour l'expression de la série de Fourier.
Voila ce que j'ai trouvé, pouvez-vous me corriger si besoin merci.
Mon raisonnement:
On sait que
d'ou
Donc
Donc suivant les valeurs de n(paire ou impaire), on détermine
D'ou
J'en déduis donc la série de Fourier de
Voila pour la premiere question.
On me demande ensuite de tracer le graphe de la somme de cette série,je sais vraiment pas comment on fait.
Mais merci de me corriger si j'ai fait une erreur pour l'expression de la série de Fourier.
par mathelot » 11 Juin 2006, 15:01
La fonction f n'est ni paire , ni impaire sur 
Elle vaut zéro sur l'intervalle
à cause de sa périodicité.
Votre définition de f n'est pas valide en
. L'un des deux intervalles de définition doit être ouvert sinon )
prend deux valeurs distinctes.
Quand vous aurez calculé la série de fourier de f,)
qui est aussi une fonction de la variable x, vous pourrez égaliser
les images)
et )
pour les points x où f est continue et égaliser et la demi-somme des limites à droite et à gauche de f aux points x où f est discontinue.
je dois y aller............
Elle vaut zéro sur l'intervalle
Votre définition de f n'est pas valide en
Quand vous aurez calculé la série de fourier de f,
qui est aussi une fonction de la variable x, vous pourrez égaliser
les images
je dois y aller............
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