U1=(1,0,0) u2=(0,0,1) est une base de R² ou de R^3 des deux ou d'aucun?

[Krapoplate]

Voila, je ne sais pas si u1=(1,0,0) u2=(0,0,1) est une base de R² ou de R^3 des deux ou d'aucun?

J'ai pensé au fait que l'on puisse utiliser la méthode de Gauss tel que

a(1,0,0)+ b(0,0,1) = (0,0,0)

1 0I 0
0 0I 0
0 1I 0

ce qui donne a=0
b=0

donc a=b=0

Ca signifie que c'est R²?

[Judoboy]

Avec 2 vecteurs tu engendres au mieux un espace vectoriel de dimension 2.

Ta famille est libre et a 2 éléments donc c'est une base d'un sous-espace vectoriel de R^3 de dimension 2, en l'occurrence le plan y = 0 (donc isomorphe à R² comme tous les hyperplans de R^3).

[Krapoplate]

Avec 2 vecteurs tu engendres au mieux un espace vectoriel de dimension 2.

Ta famille est libre et a 2 éléments donc c'est une base d'un sous-espace vectoriel de R^3 de dimension 2, en l'occurrence le plan y = 0 (donc isomorphe à R² comme tous les hyperplans de R^3).

Si j'ai bien compris c'est une base de R^3 du fait qu'ils sont libre et que le nombre de vecteur est est inférieur à 3 ?

mais aussi une base de deux du fait qu'il y a deux vecteurs?

[Skullkid]

Non, reviens aux définitions : une base c'est une famille libre et génératrice. Dans le premier post tu as montré que la famille était libre, mais tu n'as rien dit sur son caractère générateur ou non.

Comme l'a dit Judoboy, comme ta famille ne comprend que 2 vecteurs, il est impossible qu'elle engendre R^3, ce n'est donc pas une base de R^3. En revanche, elle engendre un certain sous-espace de R^3, qui est de dimension 2, mais qui n'est pas R² à proprement parler (en revanche il est isomorphe à R²).

Peux-tu me décrire, avec des mots, quel est cet espace de dimension 2 qui est engendré par ta famille (u1,u2) ?

[Krapoplate]

Non, reviens aux définitions : une base c'est une famille libre et génératrice. Dans le premier post tu as montré que la famille était libre, mais tu n'as rien dit sur son caractère générateur ou non.

Comme l'a dit Judoboy, comme ta famille ne comprend que 2 vecteurs, il est impossible qu'elle engendre R^3, ce n'est donc pas une base de R^3. En revanche, elle engendre un certain sous-espace de R^3, qui est de dimension 2, mais qui n'est pas R² à proprement parler (en revanche il est isomorphe à R²).

Peux-tu me décrire, avec des mots, quel est cet espace de dimension 2 qui est engendré par ta famille (u1,u2) ?

j'ai vu qu'avec la résolution par la méthode de Gauss,
a=0
b=0

donc , cela signifie que c'est de dimension 2 non?

[Krapoplate]

j'ai vu qu'avec la résolution par la méthode de Gauss,
a=0
b=0

donc , cela signifie que c'est de dimension 2 non?

Ah mais il y a aussi une propriété quidit que si la puissance de p< ou égal au nombre de vecteur, alors S est générateur sinon ce ne l'est pas.

donc Pour R² étant égal au nombre vecteur c'est générateur
Par contre pour R3 ca ne l'est pas

[Judoboy]

Ah mais il y a aussi une propriété quidit que si la puissance de p< ou égal au nombre de vecteur, alors S est générateur sinon ce ne l'est pas.

Hein ? Je sais pas ce que c'est S ni p mais je sens que ce que tu dis est extrêmement faux.

Quelle est la définition d'une famille libre ? Génératrice ? D'une base ?


Par ailleurs une famille de R^3 ne peut engendrer qu'un sous-espace de R^3. R² n'est pas un sous-espace de R^3, ce sont 2 espaces différents (les vecteurs de R² n'ont que 2 coordonnées donc ce ne sont pas des vecteurs de R^3).

Que peux-tu nous dire, par exemple, sur le vecteur (1,0,0) dans R^3 ?