Consensus ?

[Galax]

Pour ceux qui ne connaissent pas le paradoxe de Bertrand je rappelle rapidement ce classique :

Q : Quelle est la probabilité pour qu'une corde d'un cercle, choisie au hasard, soit plus longue que le coté du triangle équilatéral inscrit ?

Le paradoxe vient du fait (d'après Bertrand) que la phrase 'corde choisie au hasard' n'est pas suffisamment précise et peut être interprétée de plusieurs façons différentes.

Il donne donc 3 façons de choisir une corde au hasard :

1) En prenant au hasard 2 points sur la circonférence du cercle, qui seront les 2 extrémités de la corde
2) En prenant au hasard à l'intérieur du cercle un point qui sera le centre de la corde
3) En choisissant un rayon et en disant que les cordes sont représentées par toutes les perpendiculaires à ce rayon.

Suivant que l'on choisisse 1) 2) ou 3) la réponse à Q est 1/3, 1/4 ou 1/2.

En ce qui me concerne j'ai toujours trouvé cela étrange, car pour moi seule la façon 1) représente la phrase 'on prend une corde au hasard', qu'en pensez vous ?

[Doraki]

Le consensus est que l'expression "choisie au hasard" est affreusement pas assez détaillée et que tu ne peux pas raisonnablement t'attendre à ce que tout le monde la comprenne pile de la même manière que toi.

[Galax]

Pour moi "choisi au hasard" signifie par exemple que si on avait un nombre fini N de cordes, alors la probabilité d'en tirer une en particulier serait 1/N.
Ici on en a bien sur un nombre infini, mais j'ai l'impression que si l'on discrétise le cercle en n points puis en faisant tende n vers l'infini on retombe sur la solution 1) ?
Mais c'est vrai qu'en discrétisant les points à l'intérieur du cercle on retombe sur 2) ...

[Doraki]

C'est pas un problème de discrétisation et de passage à la limite, mais un problème de comment les gens tirent au sort "une corde".

dans "une corde choisie au hasard", il n'y a pas marqué "on tire au sort deux points uniformément sur le cercle et on regarde la corde déterminée par ces 2 points", ça c'est toi qui l'invente de toutes pièces.

Il y a des tas de manières de choisir "une corde choisie au hasard" qui ne sont pas équivalentes, et sans avoir de précision tu ne peux pas savoir à l'avance ce que les gens vont faire.


Dans les problèmes de probas, soit on donne explicitement la loi, soit celle-ci est évidente dans le contexte et c'est souvent une loi uniforme sur un ensemble fini ou sur une partie de R^n.
Ici on a pas de contexte, et "l'ensemble des cordes du cercle" n'est pas une partie de R ni de R² ni de quoi que ce soit qui nous indiquerait sans équivoque une loi à prendre.

[Galax]

Tu as bien sur raison sur le fond, le but de ma question etait surtout de m'interroger sur ce que les gens comprendraient spontanément.
Je pense que si l'on demande ce qu'est une corde dans un cercle, 90% des gens repondront que c'est un segment de droite reliant 2 points de ce cercle, et par conséquent choisir une corde au hasard reviendrait à choisir 2 points au hasard sur le cercle

D'ailleurs en y reflechissant de plus près, la 2e methode (celle du centre des cordes) n'est elle pas un peu foireuse puisqu'elle affecte à chaque point intérieur le meme poids alors que le centre du cercle représente une infinité de cordes possibles (tous les diametres) mais que les autres points ne représentent qu'une et une seule corde ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Voici ma façon de voir les choses. Je ne change pas les hypothèse du problème, mais seulement sa formulation.
Soit une droite tracée au sol. On lance un cerceau. Dans les cas où le cerceau tombe sur la droite, les intersections déterminent une corde.
Quelle est la probabilité que la corde soit supérieure à la longueur du côté du triangle équilatéral inscrit.
Y a-t-il une ambiguïté sur cette énoncé ?

[st00pid_n00b]

@Dlzlogic:

Intéressant, pour moi ton énoncé revient au cas n°3. Le seul problème est où lance-t-on le cerceau? Si c'est dans tout le plan, on ne peut pas avoir de loi uniforme sur la position du centre du cerceau. On peut supposer que la distance du centre du cerceau à la droite obéit à une loi uniforme sur un intervalle [0;a[, avec a >= rayon.

[Amberss]

Mais c'est vrai qu'en discrétisant les points à l'intérieur du cercle on retombe sur 2) ...

[Dlzlogic]

Mais c'est vrai qu'en discrétisant les points à l'intérieur du cercle on retombe sur 2) ...

Bonjour,
J'ai pas réussi à voir l'image.
La proposition est faite dans le sens : On a un cercle, on lance une corde ...
Manifestement cette proposition prête à discussion, puisqu'il y a plusieurs manières de l'interpréter.
Faisons un changement de repère, on a non plus un cercle fixe, mais une ligne droite fixe, on lance un cercle, quelle est la probabilité que la corde définie par l'intersection du cercle et de la ligne, si elle existe, soit plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit ?

Avec une méthode comparable, une feuille quadrillée et un cheveu coupé en 4, on peut déterminer le nombre PI.

[Elerinna]

Avec une méthode comparable, une feuille quadrillée et un cheveu coupé en 4, on peut déterminer le nombre PI.

Un jeu amusant pour avoir PI est de faire tomber des allumettes du bord d'une chaise au hasard sur une feuille de papier puis de compter le nombre fois qu'une ligne est coupée (le nombre de coups par succès).