Une puce sur un axe

[dilonguerin]

soit T la v.a qui indique le nombre de sauts effectués pour que la puce revienne pour la premiere fois en 0.
la puce se déplace sur un axe gradué . elle va vers la droite( +1) avec la probabilité 1/2 vers la gauche (-1) avec la probabilité 1/2.

on doit montrer que P(T=2n)= (2n-2)!/(2^2n-1*n!*(n-1)!).
j'ai deja travaillé dessus (quelques heures) et j'arrive a une expression similaire mais pas exactement la meme.

[dilonguerin]

soit T la v.a qui indique le nombre de sauts effectués pour que la puce revienne pour la premiere fois en 0.
la puce se déplace sur un axe gradué . elle va vers la droite( +1) avec la probabilité 1/2 vers la gauche (-1) avec la probabilité 1/2.

on doit montrer que P(T=2n)= (2n-2)!/(2^2n-1*n!*(n-1)!).
j'ai deja travaillé dessus (quelques heures) et j'arrive a une expression similaire mais pas exactement la meme.

petit up, quelqu'un a une idée pour mon histoire de puce?

[Dlzlogic]

petit up, quelqu'un a une idée pour mon histoire de puce?

Je me souviens d'un problème assez semblable, il y a pas très longtemps sur ce forum, où la puce devait atteindre exactement la limite de 10 unités, soit à droite, soit à gauche.

[dilonguerin]

Je me souviens d'un problème assez semblable, il y a pas très longtemps sur ce forum, où la puce devait atteindre exactement la limite de 10 unités, soit à droite, soit à gauche.

bon j'ai cherché et j'ai pas trouvé.........
Alors ce que j'ai fais je me suis placé dans un repère oij un pas vers la droite représenté par une montée un vers la gauche une descente.
elle revient pour la premiere fois en 0 au bout de 2n saut.
donc on se contente de se focaliser uniquement sur un coté de la droite gradué (symétrie oblige)(soit elle part vers la gauce ou vers la droite)
il y a une monté au départ forcément, une descente au 2n-1 saut.il reste donc n-1 montées a placer parmis 2n-2 sauts (car il faut absolument le meme nobre de montésque de descentes.
j'ai 2*(n-1 pris parmis 2n-2)*(1/2^(2n-2)).
mais il reste des contraintes, la puce ne peut pas faire au cours de son trajet plus de descentes d'affilés que la valeure de sa position actuelle.Et j'ai esseyé de denombrer ce truc la

[dilonguerin]

bon j'ai cherché et j'ai pas trouvé.........
Alors ce que j'ai fais je me suis placé dans un repère oij un pas vers la droite représenté par une montée un vers la gauche une descente.
elle revient pour la premiere fois en 0 au bout de 2n saut.
donc on se contente de se focaliser uniquement sur un coté de la droite gradué (symétrie oblige)(soit elle part vers la gauce ou vers la droite)
il y a une monté au départ forcément, une descente au 2n-1 saut.il reste donc n-1 montées a placer parmis 2n-2 sauts (car il faut absolument le meme nobre de montésque de descentes.
j'ai 2*(n-1 pris parmis 2n-2)*(1/2^(2n-2)).
mais il reste des contraintes, la puce ne peut pas faire au cours de son trajet plus de descentes d'affilés que la valeure de sa position actuelle.Et j'ai esseyé de denombrer ce truc la

personne veut s'esseyer, ou qu'on en discute? apres tout il sert a ca le forum

[Doraki]

C'est un peu impossible à montrer si on connait pas le truc.

Tu connais le nombre de chemin qui arrivent à 0 au temps N.

Il faudrait compter le nombre de ces chemins qui passent par 0 avant le temps 2N.
Pour ça, à chacun de ces chemins, échange tous les pas vers la droite par des pas vers la gauche et inversement à partir du premier pas qui ramène sur 0.
Normalement ça te donne une bijection entre les chemins qui arrivent à 0 au temps 2N en croisant 0 avec les chemins qui arrivent à +2 (ou à -2 selon la direction au départ) au temps 2N.

[dilonguerin]

C'est un peu impossible à montrer si on connait pas le truc.

Tu connais le nombre de chemin qui arrivent à 0 au temps N.

Il faudrait compter le nombre de ces chemins qui passent par 0 avant le temps 2N.
Pour ça, à chacun de ces chemins, échange tous les pas vers la droite par des pas vers la gauche et inversement à partir du premier pas qui ramène sur 0.
Normalement ça te donne une bijection entre les chemins qui arrivent à 0 au temps 2N en croisant 0 avec les chemins qui arrivent à +2 (ou à -2 selon la direction au départ) au temps 2N.

bon on m'a aidé a trouver la reponse si quelqu'un la veut.....

[Judoboy]

Yep, ça m'intéresse :)

[dilonguerin]

Yep, ça m'intéresse

pour avoir T=2n+2 tu dois avoir la même configuration que T=2n en rajoutant deux mouvemen tu peux insérer ta nouvelle monté devant tes 2n mouvements ca fait 2n possibilités.
par contre tu ne peux pas insérer une descente devant le dernier coup (qui était une descente sinon) tu arriverais a 0 en 2n coups donc ca te fait 2n-1 possibilités.
Comme ont s'en fiche de la position des n montés et des n+1 descentes (on a gardé la premiere monté issu de la structure T=2n).
comme on se fiche de la place des n monté et des n+1 descentes on divise par n*(n+1) et comme on a rajouté deux coups par rapport a la disposition t=2n on multipli par 1/4
et on a bien par reccurence P(T=2n+2)=P(T=2n)*(2n-1)*(2n)/n(n+1)2^2

[Judoboy]

Mouais, c'est un peu à l'arrache comme démo. D'ailleurs ta montée tu peux pas l'intégrer n'importe où, si t'es en -1 à un moment tu peux pas mettre une montée. Idem pour ta descente.