Trigonométrie (résolu)

[dilemmae]

Bonsoir,
J'ai un problème sur un exercice de Trigonométrie. Voici la consigne :
"A quelles heures, les aiguilles d'une horloge sont-elles alignées en sens opposé?"

Voici la piste suivie :
Soit l'aiguille des heures et celle des minutes. t représente l'heure, exprimée en h.
Autre : = II = pi
= + k x 2;) (k appartenant à Z)
= t x 2;)
= t/12 x 2;) = t/6 x

= + = + = -t/6 x + t x 2;)

J'aimerai savoir vers quelles pistes me diriger ? Est ce que je dois remplacer t par l'heure ? Par exemple :

- 1/6 x + 1 x 2;) pour 1heure ? = 6,803333 = 7 heures 20 min 33 sec ? Je ne pense pas que ce soit ça mais bon =/

+ J'ai un peu fait le test avec ma montre, j'obtiens environ ces heures la :
10h21 / 11h27 / 12h32 / 13h38 / 14h44 / 15h49 / 16h55/ 18h01 / 19h06 / 20h12 / 21h16

Merci à ceux qui m'aideront !

[st00pid_n00b]

Tu as exprimé l'angle entre les aiguilles en fonction de l'heure. Très bien. Mais tu sais aussi que cet angle doit être égal à quoi?

[dilemmae]

L'angle doit être égal à ;) si on prend sur un cercle trigonométrique.. C'est à dire 180°

[st00pid_n00b]

Pas tout à fait... l'aiguille des minutes fait plusieurs tours. L'angle vaut ;) + 2k;). Ça te donne une équation dont les solutions sont les valeurs de t.

[dilemmae]

Donc je dois résoudre l'équation :
-t/6 x ;) + t x 2;) = ;) + 2k;) ?

Peux tu m'expliquer simplement pourquoi 2k;) ? Car on se base sur ;) à 2 ;) près ?

[st00pid_n00b]

Oui, c'est ça. L'angle vaut ;) plus un certain nombre de tours complets. Par exemple, si l'angle vaut 3;), les aiguilles sont bien alignées et de sens opposé.

[dilemmae]

D'accord.
Par contre j'ai résolu l'équation, et je tombe sur 3,14 + 6,28*k = 5,757 x t et je suis bloquée.

[st00pid_n00b]

Ne remplace pas pi par une valeur numérique car ça se simplifie quand tu divises. Ensuite, il y a plusieurs solutions, pour k=0, k=1, etc...

[dilemmae]

J'essaye plein de calculs et je n'arrive pas a trouver, je pense que je fais une erreur mais je ne vois pas laquelle.
Si j'enlève les Pi qui s'annulent, j'obtiens -t/6 +t -2k.
Après 5/6t - 2k
1/t = 5/6 - 2k
t = 6/5 - 1/2k

Et les résultats sont faux...

[chan79]

J'essaye plein de calculs et je n'arrive pas a trouver, je pense que je fais une erreur mais je ne vois pas laquelle.
Si j'enlève les Pi qui s'annulent, j'obtiens -t/6 +t -2k.
Après 5/6t - 2k
1/t = 5/6 - 2k
t = 6/5 - 1/2k

Et les résultats sont faux...

cet alignement arrive 11 fois, à intervalles réguliers entre 0 h et 12 h
donc cet intervalle de temps est 12/11 h ou 1 h 1/11
si on part de 6 h où les aiguilles sont alignées
6h, 7h 1/11, 8h 2/11, 9 h3/11 , 10h 4/11 , 11h 5/11 , 12h 6/11, 13h 7/11, 14h 8/11,
15h 9/11, 16h 10/11
ensuite on arrive à 18 h
7 h 1/11 donne 7h + 1/11 h= 7h + 60/11 min soit environ 7 h 05 min

[dilemmae]

D'accord, je vois, mais il faut le prouver par des calculs...

[chan79]

D'accord, je vois, mais il faut le prouver par des calculs...

non, tout est prouvé

[dilemmae]

Ben toi et st00pid_n00b me donnez deux réponses divergentes alors.

[st00pid_n00b]

J'essaye plein de calculs et je n'arrive pas a trouver, je pense que je fais une erreur mais je ne vois pas laquelle.
Si j'enlève les Pi qui s'annulent, j'obtiens -t/6 +t -2k.
Après 5/6t - 2k
1/t = 5/6 - 2k
t = 6/5 - 1/2k

Et les résultats sont faux...

Tes calculs sont faux, deja en enlevant les pi on a:
2t - t/6 = 1 + 2k
t*(11/6) = 1 + 2k
t = 6/11 + (12/11)k

[dilemmae]

D'accord, merci. Effectivement j'ai oublié certaines choses. :girl2:

[chan79]

D'accord, merci. Effectivement j'ai oublié certaines choses. :girl2:

une autre approche (nettement moins intéressante)
cherchons l'instant de l'alignement après l'heure h ( h entier variant de 0 à 11)
à partir de l'heure h, la petite aiguille fait en degrés h*30 +x
la grande aiguille qui tourne 12 fois plus vite ( car elle fait 360° quand la petite fait 30°)
fait 12x
Compte de tenu de l'alignement
12x-(30h+x)=180
11x=180+30h
x=(180+30h)/11
x donne des degrés, on divise par 30 pour avoir l'équivalence en heures, ce qui donne (6+h)/11
les heures cherchées sont donc
h+(6+h)/11
soit
0h 6/11, 1h 7/11, 2h 8/11, 3h 9/11, 4h 10/11, 6h , 7h 1/11, 8h 2/11, 9h 3/11, 10h 4/11, 11h 5/11

[dilemmae]

Merci, j'ai finalement réussi ! Merci encore pour votre aide :++: