Exercice suite adjacente Terminale

[kalou0508]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

1)a) On considère la fonction f, définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = (1/(x+1))-ln(x+1)+ln x. Etudier les variations de f puis en déduire que f est négative.
b) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+ infini[ par g(x) = (1/(x+1))-ln(x+2)+ln(x+1). Etudier les variations de g puis en déduire que g est positive.
2) On considère les deux suite (Un) et (Vn) définies pour n> ou égale 1 par : Un = (1+1/2+...+1/n)-ln n et Vn = (1+1/2+...+1/n)-ln(n+1)
a) Observer, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, le comportement de ces deux suites. Quelles conjectures peut on formuler ?
b) Montrer lim (Un-Vn)=0
n->+infini
3) Montrer que : Un+1-Un=(1/(n+1))-ln(n+1)+ln n. En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Un) est décroissante.
4) Montrer que : Vn+1-Vn=(1/(n+1))-ln(n+2)+ln(n+1). En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Vn) est croissante.
5) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent vers une limite commune que l'on notera gamma.
6) Pour quelles valeurs de l'écart entre (Un) et (Vn) est il inférieur à 10^-3 ?
7) Donner une valeur approchée de gamma à 10^-3 près par défaut.

Voilà, alors en gros j'ai besoin d'aide pour la question 1)a) car je trouve que la suite est croissante et que lim en 0=-infini mais je n'arrive pas à montrer que la lim en +infini est 0 pour montrer que f est négatif et je n'arrive pas à montrer que g est décroissante le reste je n'ai pas encore commençé.
J'aimerais que l'on m'aide le plus rapidement possible. Si quelque chose pose problème dans l'énoncé, n'hésitez pas à me demander.
Merci beaucoup d'avance.

[Manny06]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

1)a) On considère la fonction f, définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = (1/(x+1))-ln(x+1)+ln x. Etudier les variations de f puis en déduire que f est négative.
b) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+ infini[ par g(x) = (1/(x+1))-ln(x+2)+ln(x+1). Etudier les variations de g puis en déduire que g est positive.
2) On considère les deux suite (Un) et (Vn) définies pour n> ou égale 1 par : Un = (1+1/2+...+1/n)-ln n et Vn = (1+1/2+...+1/n)-ln(n+1)
a) Observer, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, le comportement de ces deux suites. Quelles conjectures peut on formuler ?
b) Montrer lim (Un-Vn)=0
n->+infini
3) Montrer que : Un+1-Un=(1/(n+1))-ln(n+1)+ln n. En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Un) est décroissante.
4) Montrer que : Vn+1-Vn=(1/(n+1))-ln(n+2)+ln(n+1). En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Vn) est croissante.
5) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent vers une limite commune que l'on notera gamma.
6) Pour quelles valeurs de l'écart entre (Un) et (Vn) est il inférieur à 10^-3 ?
7) Donner une valeur approchée de gamma à 10^-3 près par défaut.

Voilà, alors en gros j'ai besoin d'aide pour la question 1)a) car je trouve que la suite est croissante et que lim en 0=-infini mais je n'arrive pas à montrer que la lim en +infini est 0 pour montrer que f est négatif et je n'arrive pas à montrer que g est décroissante le reste je n'ai pas encore commençé.
J'aimerais que l'on m'aide le plus rapidement possible. Si quelque chose pose problème dans l'énoncé, n'hésitez pas à me demander.
Merci beaucoup d'avance.

ecris -ln(x+1)+lnx= -ln((x+1)/x)

[kalou0508]

ecris -ln(x+1)+lnx= -ln((x+1)/x)

Ah ok ! C'est bon j'ai bien trouvé 0 comme limite en faisant ça merci beaucoup !
J'aurai besoin d'aide aussi à la 1)b) car en faisant la limite je trouve g'(x)=(-1/(x+1)²)-1/(x+2)+1/(x+1) et pour le signe je trouve que (-1/(x+1)²) et -1/(x+2) sont négatifs et 1/(x+1) est positif donc la dérivée serait positive et la fonction croissante or je dois trouver que la fonction est décroissante, pouvez vous m'aider à trouver mon erreur ?

[Manny06]

Ah ok ! C'est bon j'ai bien trouvé 0 comme limite en faisant ça merci beaucoup !
J'aurai besoin d'aide aussi à la 1)b) car en faisant la limite je trouve g'(x)=(-1/(x+1)²)-1/(x+2)+1/(x+1) et pour le signe je trouve que (-1/(x+1)²) et -1/(x+2) sont négatifs et 1/(x+1) est positif donc la dérivée serait positive et la fonction croissante or je dois trouver que la fonction est décroissante, pouvez vous m'aider à trouver mon erreur ?

reduis tes fractions au même denominateur (x+1)²(x+2)

[kalou0508]

reduis tes fractions au même denominateur (x+1)²(x+2)

Ok en effet je trouve bien que la fonction est décroissante merci !
Désolé d'être embetante mais maintenant j'ai au souci à la question 3) où il faut faire Un+1-Un
Cela fait Un+1-Un= (1+1/2+...+1/(n+1))-ln(n+1)-(1+1/2+...+1/n)+ln n
=1/(n+1)-ln(n+1)-1/n+ln n
Or je n'arrive pas a me débarasser du -1/n pour retrouver f(Un) comme prévu. J'ai essayé de mettre 1/(n+1) et -1/n au même dénominateur mais cela me donne quelque chose de bizarre alors pouvez vous m'aidez de nouveau ? Merci d'avance.

[Manny06]

Ok en effet je trouve bien que la fonction est décroissante merci !
Désolé d'être embetante mais maintenant j'ai au souci à la question 3) où il faut faire Un+1-Un
Cela fait Un+1-Un= (1+1/2+...+1/(n+1))-ln(n+1)-(1+1/2+...+1/n)+ln n
=1/(n+1)-ln(n+1)-1/n+ln n
Or je n'arrive pas a me débarasser du -1/n pour retrouver f(Un) comme prévu. J'ai essayé de mettre 1/(n+1) et -1/n au même dénominateur mais cela me donne quelque chose de bizarre alors pouvez vous m'aidez de nouveau ? Merci d'avance.

il n'y a pas de -1/n
la 1° somme est 1+1/2+1/3 +.....+1/n+1/n+1
il faut savoir ce qui est sous-entendu par les pointillés:on fait la somme des inverses de tous les entiers de 1 à (n+1)

[kalou0508]

il n'y a pas de -1/n
la 1° somme est 1+1/2+1/3 +.....+1/n+1/n+1
il faut savoir ce qui est sous-entendu par les pointillés:on fait la somme des inverses de tous les entiers de 1 à (n+1)

Oh c'est bon je viens de comprendre j'avais oublié un petit truc mais c'est bon. Merci !
Pour la toute dernière question je ne sais pas trop comment faire avec ma calculette pour entrer une somme comme suite j'ai une casion graph 35+ du coup je ne sais pas comment trouver la limite commune. Après y a t il un rapport avec la question précédente ou j'ai trouver n=1000 ?

[Manny06]

Oh c'est bon je viens de comprendre j'avais oublié un petit truc mais c'est bon. Merci !
Pour la toute dernière question je ne sais pas trop comment faire avec ma calculette pour entrer une somme comme suite j'ai une casion graph 35+ du coup je ne sais pas comment trouver la limite commune. Après y a t il un rapport avec la question précédente ou j'ai trouver n=1000 ?

d'après la question preceente U1000-V1000 est un encadrement de la limite d'amplitude 10^-3

peut-être faire un programme pour calculer Un

[kalou0508]

d'après la question preceente U1000-V1000 est un encadrement de la limite d'amplitude 10^-3

peut-être faire un programme pour calculer Un

oui mais je ne sais pas comment écrire la suite dans la calculette quand c'est sous forme de somme comme Un du coup je suis bien embeté.

[Manny06]

oui mais je ne sais pas comment écrire la suite dans la calculette quand c'est sous forme de somme comme Un du coup je suis bien embeté.

sur une TI on peut faire un petit programme pour calculer U1000
1-->U
1-->I
while II
U+1/I-->U
End
Disp"U=",U-lnI

tu peux l'adapter à ta calculatrice
pour avoir la valeur de la limite (et vérifier) tape :Constante d'Euler sur ton moteur de recherche

[chan79]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les suites. Voici l'énoncé :

1)a) On considère la fonction f, définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = (1/(x+1))-ln(x+1)+ln x. Etudier les variations de f puis en déduire que f est négative.
b) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+ infini[ par g(x) = (1/(x+1))-ln(x+2)+ln(x+1). Etudier les variations de g puis en déduire que g est positive.
2) On considère les deux suite (Un) et (Vn) définies pour n> ou égale 1 par : Un = (1+1/2+...+1/n)-ln n et Vn = (1+1/2+...+1/n)-ln(n+1)
a) Observer, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, le comportement de ces deux suites. Quelles conjectures peut on formuler ?
b) Montrer lim (Un-Vn)=0
n->+infini
3) Montrer que : Un+1-Un=(1/(n+1))-ln(n+1)+ln n. En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Un) est décroissante.
4) Montrer que : Vn+1-Vn=(1/(n+1))-ln(n+2)+ln(n+1). En utilisant les résultats de la question 1), montrer que la suite (Vn) est croissante.
5) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent vers une limite commune que l'on notera gamma.
6) Pour quelles valeurs de l'écart entre (Un) et (Vn) est il inférieur à 10^-3 ?
7) Donner une valeur approchée de gamma à 10^-3 près par défaut.

Voilà, alors en gros j'ai besoin d'aide pour la question 1)a) car je trouve que la suite est croissante et que lim en 0=-infini mais je n'arrive pas à montrer que la lim en +infini est 0 pour montrer que f est négatif et je n'arrive pas à montrer que g est décroissante le reste je n'ai pas encore commençé.
J'aimerais que l'on m'aide le plus rapidement possible. Si quelque chose pose problème dans l'énoncé, n'hésitez pas à me demander.
Merci beaucoup d'avance.

salut
pour +inf
f(x)=1/(x+1)+ln(x/(x+1))
x/(x+1) tend vers 1
la limite cherchée est 0

[kalou0508]

salut
pour +inf
f(x)=1/(x+1)+ln(x/(x+1))
x/(x+1) tend vers 1
la limite cherchée est 0

Oui je sais pas si tu as bien lu mais j'ai trouvé comment faire ! Mais merci par contre je n'arrive pas à la question 7) j'ai bien cherché la constante d'euler j'ai trouvé mais je ne sais pa comment le rediger dans mon exo.