Tangentes à une parabole

[Carly]

Bonjour,
J'ai un DM à faire mais je suis bloqué et du coup je ne peux pas faire le reste.
J'ai réussi 1°) mais je ne comprend pas le 2°)
dont voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [-3;3] par : f(x)=9-x².
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o;i;j) donné.
1°) On appelle g la fonction définie sur R par : f(x)=9-x²
a- Étudier le signe de g(x) sur R. En déduire la position relative de C par rapport à l'axe des abscisses.
Préciser les coordonnées des points d'intersection P et P' de la courbe C avec l'axe des abscisses.
b- Déterminer les variations de G sur R. Justifier. En déduire le tableau des variations de f sur l'intervalle [-3;3].
2°) Soit a un point de la courbe C d’abscisse a ( a étant un réel quelconque, fixé dans l’intervalle [-3;3]), et TA la tangente à la courbe C au point A. On note une équation de la tangente TA sous la forme : y=mx+p.
a- Montrer que le coefficient directeur m est égal à -2a.
b- Donner, en fonction de a, les coordonnées du point A.
c- En déduire que l'ordonnée à l’origine p de la tangente TA est : 9+a²
Si vous pouviez m'aider ce serait gentil
Merci d'avance
Carly.

[globule rouge]

Bonjour,
J'ai un DM à faire mais je suis bloqué et du coup je ne peux pas faire le reste.
J'ai réussi 1°) mais je ne comprend pas le 2°)
dont voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [-3;3] par : f(x)=9-x².
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o;i;j) donné.
1°) On appelle g la fonction définie sur R par : f(x)=9-x²
a- Étudier le signe de g(x) sur R. En déduire la position relative de C par rapport à l'axe des abscisses.
Préciser les coordonnées des points d'intersection P et P' de la courbe C avec l'axe des abscisses.
b- Déterminer les variations de G sur R. Justifier. En déduire le tableau des variations de f sur l'intervalle [-3;3].
2°) Soit a un point de la courbe C d’abscisse a ( a étant un réel quelconque, fixé dans l’intervalle [-3;3]), et TA la tangente à la courbe C au point A. On note une équation de la tangente TA sous la forme : y=.
a- Montrer que le coefficient directeur m est égal à -2a.
b- Donner, en fonction de a, les coordonnées du point A.
c- En déduire que l'ordonnée à l’origine p de la tangente TA est : 9+a²
Si vous pouviez m'aider ce serait gentil
Merci d'avance
Carly.

Salut Carly
Ce n'est pas très clair :\ d'où vient ce m ? Le coefficient directeur de quoi ? Quelle est la "forme" de la tangente ?

Julie

[Carly]

Salut Carly
Ce n'est pas très clair :\ d'où vient ce m ? Le coefficient directeur de quoi ? Quelle est la "forme" de la tangente ?

Julie

Le sujet m'a été donné tel quel. Je pense que le m vient donc de l'équation de la tangente qui est égal au coefficient directeur. Pour la forme je suis désolé j'avais oublié t'écrire l'équation y=mx+p
Merci de ta réponse.
Carly

[Jota Be]

Le sujet m'a été donné tel quel. Je pense que le m vient donc de l'équation de la tangente qui est égal au coefficient directeur. Pour la forme je suis désolé j'avais oublié t'écrire l'équation y=mx+p
Merci de ta réponse.
Carly

Bonsoir,
le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe est la dérivée en ce point de la courbe.

Pour mieux comprendre de manière intuitive, le nombre dérivé en un point de la fonction est une variation Delta f sur une variation Delta x. Les Delta ici représentent des variations. En faisant tendre la variation Delta x vers 0, tu fais tendre ta variation Delta f vers 0 aussi, et c'est l'accroissement infinitésimal Delta f/Delta x qui est la "pente de la courbe" en un point donné. C'est pour cela que la limite quand h tend vers 0 de [f(a+h)-f(a)]/h vaut le nombre dérivé f'(a) en a (c'est exactement la même chose).
C'est à peu près pareil que lorsque tu calculais la pente de la courbe d'une fonction linéaire, sauf qu'une fonction linéaire croit toujours de la même manière en chaque portion de sa représentation graphique, tandis qu'une courbe n'est pas forcément une ligne droite : elle peut changer de variation et sa pente varie elle-même beaucoup. C'est pour cela que le nombre dérivé n'est pas constant pour tout x, ce que tu peux constater en analysant des fonctions non linéaires/non affines/non constantes.

[Carly]

Bonsoir,
le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe est la dérivée en ce point de la courbe.

Pour mieux comprendre de manière intuitive, le nombre dérivé en un point de la fonction est une variation Delta f sur une variation Delta x. Les Delta ici représentent des variations. En faisant tendre la variation Delta x vers 0, tu fais tendre ta variation Delta f vers 0 aussi, et c'est l'accroissement infinitésimal Delta f/Delta x qui est la "pente de la courbe" en un point donné. C'est pour cela que la limite quand h tend vers 0 de [f(a+h)-f(a)]/h vaut le nombre dérivé f'(a) en a (c'est exactement la même chose).
C'est à peu près pareil que lorsque tu calculais la pente de la courbe d'une fonction linéaire, sauf qu'une fonction linéaire croit toujours de la même manière en chaque portion de sa représentation graphique, tandis qu'une courbe n'est pas forcément une ligne droite : elle peut changer de variation et sa pente varie elle-même beaucoup. C'est pour cela que le nombre dérivé n'est pas constant pour tout x, ce que tu peux constater en analysant des fonctions non linéaires/non affines/non constantes.

Bonjour,
Donc si j'ai bien compris pour trouver le coefficient directeur il me suffit de calculer le coefficient directeur: delta f sur delta x = f(a-h)-f(a)/h=-2a+h
lim (delta f sur delta x)= lim(-2a+h)=-2a

Ensuite on sait que A(xa;f(xa))
donc f(xa)=f(-2a)=9-(-2a)²=9+4a²
Les coordonnées de A sont donc (-2a;9+4a²)

Enfin pour trouver l'ordonnée à l'origine de la tangente:
y=mx+p
yA=-2axA+p
9+4a²=-2a*-2a+p
9+4a²=4a²+p
9+4a²-4a²=p
9=p
J'ai du me tromper quelque part car je devrais trouver p=9+a² mais je ne vois pas où est mon erreur.

[Jota Be]

Bonjour,
Donc si j'ai bien compris pour trouver le coefficient directeur il me suffit de calculer le coefficient directeur: delta f sur delta x = f(a-h)-f(a)/h=-2a+h
lim (delta f sur delta x)= lim(-2a+h)=-2a

Ensuite on sait que A(xa;f(xa))
donc f(xa)=f(-2a)=9-(-2a)²=9+4a²
Les coordonnées de A sont donc (-2a;9+4a²)

Enfin pour trouver l'ordonnée à l'origine de la tangente:
y=mx+p
yA=-2axA+p
9+4a²=-2a*-2a+p
9+4a²=4a²+p
9+4a²-4a²=p
9=p
J'ai du me tromper quelque part car je devrais trouver p=9+a² mais je ne vois pas où est mon erreur.

Bonsoir Carly,
Pour le coefficient directeur, c'est ça, même si la rédaction laisse à désirer. Je t'expliquais juste d'une manière théorique, pour que tu comprennes, mais c'est bien d'avoir utilisé cette méthode (très laborieuse dans certains cas) si tu ne sais pas que . Enfin j'espère que tu as compris de manière intuitive ce que représente le nombre dérivé.
Pour les coordonnées de A en fonction de a, ce n'est pas ça : a vaut a, point.
ainsi, nous avons A(a; f(a)) et tu développes f(a)...
Bien, maintenant que tu disposes des bonnes coordonnées, il est temps que tu refasses le calcul !

[Carly]

Bonsoir Carly,
Pour le coefficient directeur, c'est ça, même si la rédaction laisse à désirer. Je t'expliquais juste d'une manière théorique, pour que tu comprennes, mais c'est bien d'avoir utilisé cette méthode (très laborieuse dans certains cas) si tu ne sais pas que . Enfin j'espère que tu as compris de manière intuitive ce que représente le nombre dérivé.
Pour les coordonnées de A en fonction de a, ce n'est pas ça : a vaut a, point.
ainsi, nous avons A(a; f(a)) et tu développes f(a)...
Bien, maintenant que tu disposes des bonnes coordonnées, il est temps que tu refasses le calcul !

Merci beaucoup pour toutes les indications et bonnes révisions !
Carly