équation d'un parallélépipède

[Scytale]

Bonjour :we:

Je bosse actuellement sur un programme faisant une représentation 3D d'une molécule.
Mon problème est que j'ai un parallélépipède (que je vais appeller P, ça sera plus simple :lol5: ) , je connais les positions de ses 8 sommets, et je voudrais savoir comment faire pour savoir si un atome (un point dont je connais les coordonnées) est à l'intérieur de P ou non.
Je suppose que pour ça il faut que je calcule l'équation de P, mais comment on fait en connaissant ses sommets ?

[abel]

Salut, tu pourrais essayer plutôt de calculer la distance de ton point aux 6 plans du parallelipipède...pour les equations de tes plans : il suffit de connaitre 3 points non alignés et donc 2 vecteurs, l'equation vectorielle d'un plan définit par 2 vecteur u et v est det(u,v,X) = 0 où X=(x,y,z) le vecteur inconnu. Ensuite pr trouver la constante, il te suffit de dire de faire vérifier l'equation du plan par les coordonn"es d'un point
exemple :


un plan passant par (0,2,1),(1,0,1),(2,1,0) :
2 vecteurs : (1,-2,0) et (1,1,-1) donc l'equ est de la forme :
2x+y+3z+d=0

P passe par (1,0,1) donc 2 + 3 +d =0 et donc d=-5
d'où :
2x+y+3z-5=0

Maintenant pour calculer une distance au plan d'un point M(a,b,c) :


Bref, je pense que pr connaitre si un point est dans le quadrilatere, il faut voir si chacune des distance entre chaque plan est inferieure a la distance entre 2 plans parallèles (qui n'est que la distance d'un de ces plan à un point de l'autre plan)...

[yos]

A partir des 6 équations de plan tu peux écrire un système caractérisant l'intérieur du parallélépipède. Cela fera :
kmpPuisque tu as trois paires de plans parallèles.

[Scytale]

Merci :we:

Par contre, j'aurais quand même quelques petites questions :euh:

abel, dans ton exemple, comment tu passe des deux vecteurs (1,-2,0) et (1,1,-1) à l'égalité 2x+y+3z+d = 0 ?

et yos, je crois avoir compris ton idée, c'est pas bête du tout :++:
Mais j'ai quand même un ptit doute :
quand tu écris kax+by+cz c'est l'équation correspondant à deux côtés parallèles de mon parallélépipède, sans les constantes, c'est ça ?
et k et l sont les constantes de ces deux plans ?

[abel]

l'équation d'un plan quand on connait 2 de ces vecteurs non colinéaire u et v est :
det(u,v,X) = 0 (avec X=(x,y,z)) ce qui traduit le fait que X est combinaison linéaire de u et v.
Apres il faut faire un simple calcul de determinant (un ordinateur doit savoir faire ça je pense, sinon, tu développes par rapport a la collone X ce qui revient a calculer 3 determinants 2x2)

[yos]

et yos, je crois avoir compris ton idée, c'est pas bête du tout :++:
Mais j'ai quand même un ptit doute :
quand tu écris k<ax+by+cz<l
ax+by+cz c'est l'équation correspondant à deux côtés parallèles de mon parallélépipède, sans les constantes, c'est ça ?
et k et l sont les constantes de ces deux plans ?

oui c'est ça. Deux faces parallèles ont des équation du type ax+by+cz-k=0 et
ax+by+cz-l=0 (les coef de x,y,z ne dépendent que de la direction du plan). La partie de l'espace entre ce deux plans est définie par :
k<ax+by+cz<l (si k<l, sinon on renverse lers inégalités).

[Scytale]

Pour le calcul de l'équation du plan en connaissant 2 vecteur, j'ai cherché un peu et j'ai trouvé ça :
[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Déterminant_%28mathématiques%29#D.C3.A9terminant_de_trois_vecteurs_dans_l.27espace_euclidien[/url]
c'est bien comme ça qu'il faut calculer det(u,v,X) ?
si oui, c'est plus simple que ce que j'avais craint :king:

EDIT : zut, le liens amène pas là où je veut ... faut regarder la partie 2.2 Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien

[abel]

Oui , c'est la règle de Sarrus.
Si la méthode des déterminants ne te plait pas, tu peux aussi trouver un vecteur normal n au plan (en faisant le produit vectoriel des 2 vecteurs U et V par exemple ce qui revient au calcul de determinants de ttes façons), l'équation sera donc = 0, et puis il faudra déterminer la constante.
<,> désigne le produit scalaire.

Voilà voilà

[Scytale]

la rêgle de sarrus me va très bien :)

Merci de votre aide !
:salut: