Polynomes et nombres complexes

[cabaline]

Bonjour, voilà un exerice sur les polynomes ou je suis totalement bloquée, je n'ai aucune idée d'approche, si quelqu'un pourrait m'aider ca serait sympa : voici l'énoncé :


1/ a) Quelle est le module des solutions dans C de l'équation z^2n = 1 ?
b) Determiner les racines dans C de X^2n-1 (on les cherchera sous forme polaire)
2/ Sit f(z) = (1+z)/(1-z) : montrer que f est une bijection de C/(1) sur C/(-1) et determiner la bijection reciproque
3/ Soit Pn(X) = (1+X)^2n - (1 - X)^2n
a) Calculer le degré, le coefficient dominant et le monome de plus bas degrés du polynome Pn.
b) Factoriser Pn dans C puis dans R
c) En deduire la valeur de "produit : tan²(kpi/2n)

Merci si quelqu'un m'aide

[vincentroumezy]

Quelleest le module des solutions dans C de l'équation z^2n = 1 ?

Bonjour.
Quelle est déjà la forme des solutions ?

[cabaline]

z^2n-1 = 0
(z²)^n-1= 0
(z^n-1)(z^n+1)=0
Donc z^n=1 ou -1 mais je ne suis pas sure que mon raisonnement soit le bon

[Manny06]

z^2n-1 = 0
(z²)^n-1= 0
(z^n-1)(z^n+1)=0
Donc z^n=1 ou -1 mais je ne suis pas sure que mon raisonnement soit le bon

utilise simplement |z^2n|=|z|^2n=1 donc |z|=1

[sphinx67]

1/ a) Quelle est le module des solutions dans C de l'équation z^2n = 1 ?
b) Determiner les racines dans C de X^2n-1 (on les cherchera sous forme polaire)

Il te suffit de décomposer sous forme polaire, (Z)^2n=r^2n exp(i.2n.t) et tu as immédiatement ta réponse

Pour la 3), tu peux utiliser le binôme de Newton

[cabaline]

Bonjour,
pour la a) la réponse est donc tout simplement |z| = 1 ?
b) Comme |z| = 1 j'aurais donc X^2n = exp (2intéta)? Mais comment je trouve l'angle ici? et je n'ai pas plusieurs racines du coup ..

[Carpate]

Bonjour,
pour la a) la réponse est donc tout simplement |z| = 1 ?
b) Comme |z| = 1 j'aurais donc X^2n = exp (2intéta)? Mais comment je trouve l'angle ici? et je n'ai pas plusieurs racines du coup ..

[cabaline]

z^2n = (1;2kpi) veut dire modulo 2kpi ? je ne comprends pas votre notation

[sphinx67]

z^2n = (1;2kpi) veut dire modulo 2kpi ? je ne comprends pas votre notation

La première variable c'est le module, usuellement noté r, la seconde c'est l'aangle thêta

[Carpate]

z^2n = (1;2kpi) veut dire modulo 2kpi ? je ne comprends pas votre notation

Un réel est situé sur l'axe des réels (c'est presque une Lapalissade !).
C'est donc un complexe dont l'argument est nul à prés.

[baloo00]

Mais pour la premiere question, la racine de ce polynome c'est 1 non ? Je ne vois pas d'autres racines possibles.. Du coup, comme c'est un nombre réel son module serait sa valeur absolue ? Je ne sais pas si c'est un bon raisonnement !

[Carpate]

Mais pour la premiere question, la racine de ce polynome c'est 1 non ? Je ne vois pas d'autres racines possibles.. Du coup, comme c'est un nombre réel son module serait sa valeur absolue ? Je ne sais pas si c'est un bon raisonnement !

On t'a montré que les 2n racines complexes de sont de module 1 et que ce sont aussi les racines du polynôme .
Tu pourrais passer à la question 2) ...

[baloo00]

On t'a montré que les 2n racines complexes de sont de module 1 et que ce sont aussi les racines du polynôme .
Tu pourrais passer à la question 2) ...

Pour la question 3)a) pour calculer le degré à l'aide du binome de Newton je trouve que le plus haut degré est 2n tout simplement, est ce ça ?

[sphinx67]

Pour la question 3)a) pour calculer le degré à l'aide du binome de Newton je trouve que le plus haut degré est 2n tout simplement, est ce ça ?

Je suis désolé de te dire que tu t'es trompé, Bien sur deg(P)=<2n de part la nature même de son expression et donc P est de la forme a0+a1x+...+a2n.x^2n.
Mais est-tu sûr que a2n différent de 0?
Si tu as un doute, prend un cas simple comme n=1
(1+X)^2 - (1 - X)^2 n'est pas de degré 2.

[baloo00]

Je suis désolé de te dire que tu t'es trompé, Bien sur deg(P)=<2n de part la nature même de son expression et donc P est de la forme a0+a1x+...+a2n.x^2n.
Mais est-tu sûr que a2n différent de 0?
Si tu as un doute, prend un cas simple comme n=1
(1+X)^2 - (1 - X)^2 n'est pas de degré 2.

Je trouve par une petite récurrence que deg(P) = le 2n-ième impair.

Si n = 1, deg(P) = 1
n = 2, deg(P) = 3
n = 3, deg(P) = 5
n = 4, deg(P) = 7...

Mais comment le justifier ? :mur:

[Manny06]

Je trouve par une petite récurrence que deg(P) = le 2n-ième impair.

Si n = 1, deg(P) = 1
n = 2, deg(P) = 3
n = 3, deg(P) = 5
n = 4, deg(P) = 7...

Mais comment le justifier ? :mur:

utilise plutôt
(1+X)^2n = somme de k=0 à k=2n de C(k,2n)X^k
(1-X)^2n=somme de k=0 à k=2n de (-1)^kC(k,2n)X^k
donc dans la différencesles termes de rang pair s'annulent et ceux de rang impair se doublent

[sphinx67]

Comme je l'avais déjà dit et Manny06 a confirmé sans l'expliciter, utilise le binôme de Newton pour résoudre cette question.