Preuve d'un théorème de géométrie de manière vectorielle

[Kiwiks]

Bonsoir,

Je viens de commencer un cours de géométrie où l'on étudie pour l'instant la géométrie affine. Il y a un des exercices que je n'arrive pas à faire:
on nous demande de donner une preuve vectorielle du théorème qui dit que dans un quadrilatère quelconque, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.

J'ai pour caractérisation d'un parallélogramme: les diagonales ont même milieu.

Je pensais prendre un repère affine constitué de deux vecteurs dirigeant deux côtés du quadrilatère (EFGH), supposer que M est le milieu d'une des diagonales du "parallélogramme" (ABCD), écrire que CM=yCA et montrer que y= 1/2.
Pour cela, j'ai essayé d'exprimer CM de deux façons différentes dans le repère puis d'égaliser les deux composantes mais j'ai un peu de mal.
Je ne sais pas si c'est la bonne méthode.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider un peu ?

Je vous remercie d'avance !

[Manny06]

Bonsoir,

Je viens de commencer un cours de géométrie où l'on étudie pour l'instant la géométrie affine. Il y a un des exercices que je n'arrive pas à faire:
on nous demande de donner une preuve vectorielle du théorème qui dit que dans un quadrilatère quelconque, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.

J'ai pour caractérisation d'un parallélogramme: les diagonales ont même milieu.

Je pensais prendre un repère affine constitué de deux vecteurs dirigeant deux côtés du quadrilatère (EFGH), supposer que M est le milieu d'une des diagonales du "parallélogramme" (ABCD), écrire que CM=yCA et montrer que y= 1/2.
Pour cela, j'ai essayé d'exprimer CM de deux façons différentes dans le repère puis d'égaliser les deux composantes mais j'ai un peu de mal.
Je ne sais pas si c'est la bonne méthode.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider un peu ?

Je vous remercie d'avance !

utilise plutôt la definition du parall"logramme par egalité de vecteurs
soit ABCD le parallélogramme
E le milieu de [AB]F celui[BC]G celuide[CD] et H celui de [AD]
Montre que vectEF=(1/2)vect AC idem pour VectHG