Exercice calcul approchée intégrales

[drake44]

J'ai beaucoup de problème avec cet exercice, je n'arrive pas à faire le lien entre les deux première questions :

"Soit la fonction ƒ définie sur (0;1/2) par ƒ(x) = exp (-x) / (1 - x)
On se propose de déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de l'intégrale I = ;)(ƒ(x))dx,0,1/2"

La première question consistait à prouver que ƒ(x) était compris entre 1 et 2 / ;)(exp (1)). J'ai réussi assez aisément en calculant ƒ(0) et ƒ(1/2).

Mais la deuxième question me pose problème. On me demande d'en déduire l'encadrement de l'intégrale I. Et là je bloque... Dois-je passer par les primitives ou y a t-il un lien plus simple ?

[st00pid_n00b]

Le but est d'encadrer I, pas de le calculer.

Si g(x) <= f(x) <= h(x) alors ;)g(x)dx <= ;)ƒ(x)dx <= ;)h(x)dx

Donc oui, si on veut ce sont des primitives, mais de fonctions constantes.

[drake44]

Donc je dois dire que g(x) = 1 et h(x) = 2 / ;)(exp (1))

Puis écrire l'encadrement.

;)(g(x) ;) ;)(f(x) ;) ;)(h(x)

Je dois déduire de cette question si l'encadrement est suffisant pour obtenir l'encadrement de I à la précision voulue. (Vu les questions d'après je suppose que c'est non) Mais avec cet encadrement je vois mal comment je pourrais y arriver :hein:

[st00pid_n00b]

En calculant ;)g(x)dx et ;)h(x)dx. Les intégrales de fonctions constantes sont les plus simples!

[drake44]

En calculant g(x)dx et h(x)dx. Les intégrales de fonctions constantes sont les plus simples!

Ben bof... Je trouve 1/2 pour la première là c'est pas sorcier mais pour h(x)... J'arrive même pas à trouver la primitive :mur:

[st00pid_n00b]

Une primitive d'une constante a est ax, ce n'est pas beaucoup plus sorcier!

On peut aussi "sortir" une constante multiplicative de l'intégrale: ;)(2/;)e)dx = 2/;)e*;)1dx

[drake44]

Okay je crois que j'ai trouver la seconde. Merci.

La suite se complique... La question 2)a) consistait à prouver que pour tous réel x de [0 ; 1/2] :

1/1-x = 1 + x + (x^2)/(1-x)

J'ai résolu l'équation mais maintenant il faut en déduire que :

I = ;)((1+x)*exp(-x),0,1/2 dx + ;)((x^2)*ƒ(x) dx

Et là je rame encore une fois. J'ai bien essayer de calculer les deux intégrales séparément mais ça ne m'a pas l'air d'aboutir à des conclusions constructives :/

[st00pid_n00b]

Le principe de ton exercice est d'étudier I de manière indirecte car tu ne peux pas calculer cette intégrale.

Arrête d'essayer de calculer toutes ces intégrales! Et quand on dit "en déduire que", c'est par rapport à la question précédente.

Indice: (f(x)+g(x))dx = f(x)dx+;)g(x)dx