Calcul dans un groupe

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice, mais je ne suis pas sure de ce que j'ai fait, pourriez vous m'aider, voici l'énoncé:
soit (G,.)un groupe de neutre e, pour tout x appartient à G, x^3=e, montrer que pour tout (x,y) appartient à G^2 :

(xy)^2=(y^2)(x^2)
j'ai fait:
(xy)^2=(x^2)(y^2)= (x^2)(y^2) (x^-1)x on utilise la commutativité de la loi .
= (y^2)(x^2) x (x^-1) = (y^2)(x^2)

x(y^2)x=y(x^2)y
j'ai fait:
x(y^2)x = (y^2)(x^2) commutativité
x(y^2)(x^2)=(y^2)(x^3)
x(y^2)(x^2)=(y^2)
x(y^2)(x^2)= yy
x(y^2)(x^2)(x^2)= yy(x^2) commutativité
x(y^2)(x^3)x= y(x^2)y
x(y^2)x = y(x^2)y

(x^2)y(x^2)=(y^2)x(y^2)
j'ai fait:
(x^2)y(x^2)=(x^4)y
((x^3)^-1)(x^2)y(x^2)=xy
(x^2)y(x^2)=xy
(x^2)y(x^2)(y^3)=xy(y^3)
(x^2)y(x^2)=x(y^2)(y^2) commutativité
(x^2)y(x^2)=(y^2)x(y^2)

Merci d'avance

[Nightmare]

Salut,

tu parles d'utiliser la commutativité, mais où te dit ton que la loi est commutative?

Si c'était le cas, ce qu'on te demande de montrer serait évident : xy²x=xyyx=yxxy=yx²y, pas besoin de faire toutes les manipulations que tu fais.

Mais malheureusement, le groupe n'est pas abélien.

[arnaud32]

es tu sure que ton groupe est commutatif?

(xy)^3=e donc (xy)²*xy=e
et si tu multiples a droite par y²x²

[mj4]

non effectivement je n'ai pas le droit d'utiliser la commutativité, donc j'ai essayer de faire le suivant, mais je en suis pas sure, je peux partir de :

(xy^2x)^-3=e ?

Merci d'avance