Groupe et sous groupe

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice mais je suis bloqué, pourriez vous m'aider?
Voici l'énoncé:
(G,.) un groupe et A une partie non vide finie de G tel que (x,y) appartient à Acarré , x.y appartient à A
1)montrons que A est un sous groupe de G
2)en déduire que toute partie finie de C*, stable pour le produit , est, pour un certain entier naturel n, l'ensemble des racines nièmes de l'unité

Mes réponses:
1)par hypothèse A
x.y appartient à A donc stable pour la loi .
pour x appartient à A donc x^(-1) appartient à A , mais c'est la que je ne vois pas sur quoi je m'appuie pour affirmer cela

Merci d'avance

[Manny06]

Bonjour, j'ai un exercice mais je suis bloqué, pourriez vous m'aider?
Voici l'énoncé:
(G,.) un groupe et A une partie non vide finie de G tel que (x,y) appartient à Acarré , x.y appartient à A
1)montrons que A est un sous groupe de G
2)en déduire que toute partie finie de C*, stable pour le produit , est, pour un certain entier naturel n, l'ensemble des racines nièmes de l'unité

Mes réponses:
1)par hypothèse A
x.y appartient à A donc stable pour la loi .
pour x appartient à A donc x^(-1) appartient à A , mais c'est la que je ne vois pas sur quoi je m'appuie pour affirmer cela

Merci d'avance

il faut utiliser l'ordre n d'un element x x^n=1 donc x^(n-1) =x^(-1)

[mj4]

D'accord, merci donc ça c'est pour la question 2, et je dois donner la valeur de n , c'est bien ça,
et pour la question1 ce que j'ai fait vous parez suffisant j'ai essayé de chercher des exemple pour les appliquer mais je n'en ai pas trouver de similaires

Merci d'avance

[Manny06]

D'accord, merci donc ça c'est pour la question 2, et je dois donner la valeur de n , c'est bien ça,
et pour la question1 ce que j'ai fait vous parez suffisant j'ai essayé de chercher des exemple pour les appliquer mais je n'en ai pas trouver de similaires

Merci d'avance

non c'est pour la question 1
tout element x d'un groupe fini a un ordre et c'est ce qui permet de montrer que l'inverse de x qui est x^(n-1) appartient à A

[mj4]

d'accord, donc j'ai fait:

x appartient à A , il existe n entier naturel non nul tel x^n appartient à A
A finie donc il existe m entier naturel non nul tel que x^m=x^n appartenant à A
x^(m-n) = x^m . x^(-n) = 1
x^(m-n) = x.x^(m-n-1) = 1
donc l'inverse x^(m-n-1) est l'inverse
et pour l'élément neutre je dois le noter e ou je peux le noter 1 ?

Merci d'avance

[mj4]

et en faite pour la question 2 c'est le même principe ? et l'entier naturel qu'on nous demande c'est n-m
donc on a le groupe (C*,.) et x A x^(n-m)=1=e car 1=e pour la loi .
car c'est l'ensemble des racines nièmes de l'unité

Merci d'avance

[Doraki]

d'accord, donc j'ai fait:

x appartient à A , il existe n entier naturel non nul tel x^n appartient à A
A finie donc il existe m entier naturel non nul tel que x^m=x^n appartenant à A
x^(m-n) = x^m . x^(-n) = 1
x^(m-n) = x.x^(m-n-1) = 1
donc l'inverse x^(m-n-1) est l'inverse
et pour l'élément neutre je dois le noter e ou je peux le noter 1 ?

Merci d'avance

soit x un élément de A.
"il existe un n entier naturel non nul tel que x^n est dans A". Tu ne nous apprends rien vu qu'on sait déjà que x^1 est dans A.
"A est fini donc il existe m non nul tel que x^m = x^n". Ben même si A n'était pas fini, il suffirait de choisir m=n pour avoir x^m = x^n. Donc pour le moment, on sait que x^1 = x^1, qui est dans A.
"x^(m-n-1) est l'inverse". Oui, mais as-tu montré qu'il était dans A ?
Par exemple si m-n-1 > 0 alors oui il est dans A, mais tu n'as jamais demandé à ce que m soit plus grand que n+1.

La manière dont tu comptes te servir de la finitude de A n'est pas très claire.
Si on appelle |A| la taille de A, que peux-tu dire des éléments x^1, x^2, x^3 ..., x^(|A|+1) ?


Pour la question 2, il ne s'agit pas de réécrire tout ce que tu fais pour la question 1 en disant que c'est le même principe, il s'agit d'appliquer le résultat de la question 1 au cas où G = (C*,x)

[mj4]

d'accord, je pense avoir compris
et on peut dire que se sont des éléments de A ?

je vais réfléchir sur la question 2