Probleme autour de la série harmonique

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 16:57

Bonjour, j'ai un probleme d'analyse a resoudre et je suis un peu coincé au niveau de certaine question.

Voici le sujet, vraiment desole de ne pas le recopier mais il est plutot long et c'est assez difficile de recopier un probleme de maths.

Enoncé

J'ai reussi à rediger l'ensemble de la partie 1 qui n'est pas vraiment compliqué, ainsi que la 1er question de la partie 2

J'en suis donc arrivée à la question 2 de la partie 2:

J'ai montrer grace a la question 1 ii) que Hn-1 -ln(n) 0 on peut donc conclure que Hn-ln(n) >0
Donc on a DELTAn >0, donc DELTAn est minorée par 0.

Mais la je ne vois pas comment proceder pour montrer que DELTAn est majorée

J'ai continuer, et j'ai reussi à faire la question 3 i), mais je ne vois pas comment montrer la monotonie pour la question 3 ii)

Merci pour votre aide.

par **Manny06** » 16 Fév 2012, 17:38

Popo1 a écrit:Bonjour, j'ai un probleme d'analyse a resoudre et je suis un peu coincé au niveau de certaine question.

Voici le sujet, vraiment desole de ne pas le recopier mais il est plutot long et c'est assez difficile de recopier un probleme de maths.

Enoncé

J'ai reussi à rediger l'ensemble de la partie 1 qui n'est pas vraiment compliqué, ainsi que la 1er question de la partie 2

J'en suis donc arrivée à la question 2 de la partie 2:

J'ai montrer grace a la question 1 ii) que Hn-1 -ln(n) 0 on peut donc conclure que Hn-ln(n) >0
Donc on a DELTAn >0, donc DELTAn est minorée par 0.

Mais la je ne vois pas comment proceder pour montrer que DELTAn est majorée

J'ai continuer, et j'ai reussi à faire la question 3 i), mais je ne vois pas comment montrer la monotonie pour la question 3 ii)

Merci pour votre aide.

je suppose que deltan notée Dn=Hn-lnn
tu dois pouvoir montrer que Dn<=1

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 17:47

Manny06 a écrit:je suppose que deltan notée Dn=Hn-lnn
tu dois pouvoir montrer que Dn<=1

Je ne vois pas bien comment majorée Dn par 1 ?
A part peut etre en utilisant le fait que la lim Hn/ln(n) =1 mais je ne sais pas si c'est possible ?

par **Pythales** » 16 Fév 2012, 18:01

Popo1 a écrit:Je ne vois pas bien comment majorée Dn par 1 ?
A part peut etre en utilisant le fait que la lim Hn/ln(n) =1 mais je ne sais pas si c'est possible ?

La réponse est dans la question 3.
Quelle est la nature de la série

?

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 18:09

Pythales a écrit:La réponse est dans la question 3.
Quelle est la nature de la série ?

Dn+1 -Dn = Hn+1 -ln(n+1) - Hn + ln(n)
=Hn+1 -Hn - ln(n+1)+ln(n)
= 1/(n+1) + ln(n+1)-ln(n)
>0
Donc la serie Dn+1 - Dn est positif
Mais en quoi cela montre que Dn est majorée ??

par **Manny06** » 16 Fév 2012, 18:23

Popo1 a écrit:Dn+1 -Dn = Hn+1 -ln(n+1) - Hn + ln(n)
=Hn+1 -Hn - ln(n+1)+ln(n)
= 1/(n+1) + ln(n+1)-ln(n)
>0
Donc la serie Dn+1 - Dn est positif
Mais en quoi cela montre que Dn est majorée ??

quand tu fais la somme des inégalités pour k variant de 1 à n
on trouve
Hn+1 -1<=ln(n+1)<=Hn

par **Pythales** » 16 Fév 2012, 18:23

Popo1 a écrit:Dn+1 -Dn = Hn+1 -ln(n+1) - Hn + ln(n)
=Hn+1 -Hn - ln(n+1)+ln(n)
= 1/(n+1) + ln(n+1)-ln(n)
>0
Donc la serie Dn+1 - Dn est positif
Mais en quoi cela montre que Dn est majorée ??

Si la série est convergente, la suite est convergente, donc majorée.
Mais je ne pense pas que c'est la réponse attendue.
Il vaut mieux partir de la double inégalité précédente, dont on tire :

et

d'où la conclusion

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 18:27

Manny06 a écrit:quand tu fais la somme des inégalités pour k variant de 1 à n
on trouve
Hn+1 -1<=ln(n+1)<=Hn

Oui c'est le resultat de la question 1 ii)
Je pense ne pas bien comprendre le rapport avec la majoration de Dn pourrai tu "m'éclairer" ? stp

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 18:33

Pythales a écrit:Si la série est convergente, la suite est convergente, donc majorée.
Mais je ne pense pas que c'est la réponse attendue.
Il vaut mieux partir de la double inégalité précédente, dont on tire :
et
d'où la conclusion

Tu part donc de Hn -1 <= ln(n+1) <= Hn ?
Et c'est inégalité suffise a montrer que Dn est bornée
Merci beaucoup pour ton aide :lol3:

par **Manny06** » 16 Fév 2012, 18:39

Popo1 a écrit:Tu part donc de Hn -1 <= ln(n+1) <= Hn ?
Et c'est inégalité suffise a montrer que Dn est bornée
Merci beaucoup pour ton aide :lol3:

une petite remarque
dans la 3) on montre que Dn est décroissante (et non croissante comme tu l'as écrit)
ce qui justifie à posteriori que Dn est majorée par D1

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 18:51

Manny06 a écrit:une petite remarque
dans la 3) on montre que Dn est décroissante (et non croissante comme tu l'as écrit)
ce qui justifie à posteriori que Dn est majorée par D1

Ha oui effectivement je me suis un peu planter sur ce coup la, merci =)

par **Popo1** » 16 Fév 2012, 19:10

Grace a votre aide j'ai reussi a prouver la question 3 de la partie 2

Pour la question 4 i) j'ai montrer que la fonction x->1/x est convexe,
Mais je ne vois pas qu'elle "argument de convexité" il faut utiliser pour montrer l'inégalité demander
Quelqu'un aurait il une idée ??
Merci pour votre aide.

par **Manny06** » 16 Fév 2012, 22:51

Popo1 a écrit:Grace a votre aide j'ai reussi a prouver la question 3 de la partie 2

Pour la question 4 i) j'ai montrer que la fonction x->1/x est convexe,
Mais je ne vois pas qu'elle "argument de convexité" il faut utiliser pour montrer l'inégalité demander
Quelqu'un aurait il une idée ??
Merci pour votre aide.

la fonction est convexe sur [k;k+1] donc l'arc de courbe est au dessous de la sécante qui joint les points Ak(k;1/k) et Ak+1(k+1;1/(k+1))
soit Bk(k;1/(k+1))
le membre de gauche represente l'aire limitée par AkBk,BkAk+1 et l'arc de courbe
le membre de droite représente l'aire du triangle AkBkAk+1
Fais une figure c'est ce qui est le plus simple pour comprendre

par **Manny06** » 17 Fév 2012, 16:27

Manny06 a écrit:la fonction est convexe sur [k;k+1] donc l'arc de courbe est au dessous de la sécante qui joint les points Ak(k;1/k) et Ak+1(k+1;1/(k+1))
soit Bk(k;1/(k+1))
le membre de gauche represente l'aire limitée par AkBk,BkAk+1 et l'arc de courbe
le membre de droite représente l'aire du triangle AkBkAk+1
Fais une figure c'est ce qui est le plus simple pour comprendre

pour la suite tu peux aller voir "série harmonique " sur wikipedia c'est bien expliqué

par **Popo1** » 17 Fév 2012, 18:37

Manny06 a écrit:pour la suite tu peux aller voir "série harmonique " sur wikipedia c'est bien expliqué

Bonjour, merci pour ton aide,
J'ai reussi a resoudre la parti 2

J'ai regarder sur wipedia comme tu ma conseiller, mais pour la partie 3 je n'arrive pas a montrer que A2n = H2n-Hn je ne vois pas comment les deux sommes peuvent elle etre egale
Aurait tu une idée ?
Merci

par **Pythales** » 17 Fév 2012, 19:57

Popo1 a écrit:Bonjour, merci pour ton aide,
J'ai reussi a resoudre la parti 2

J'ai regarder sur wipedia comme tu ma conseiller, mais pour la partie 3 je n'arrive pas a montrer que A2n = H2n-Hn je ne vois pas comment les deux sommes peuvent elle etre egale
Aurait tu une idée ?
Merci

Tu écris

soit ...

par **Manny06** » 17 Fév 2012, 22:44

Popo1 a écrit:Bonjour, merci pour ton aide,
J'ai reussi a resoudre la parti 2

J'ai regarder sur wipedia comme tu ma conseiller, mais pour la partie 3 je n'arrive pas a montrer que A2n = H2n-Hn je ne vois pas comment les deux sommes peuvent elle etre egale
Aurait tu une idée ?
Merci

tu peux le faire par récurrence

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