Suites avec une figure

[Anonyme]

Bonjour, j'ai encore un petit exercice, je ne comprends pas du tout comment
procéder.

L'énoncé:
Observer les figures suivantes et démontrer que les longueurs A(n) A(n+1)
sont des termes d'une suite géométrique puis calculer la longueur du
parcours
A0A1A2[...]A10.

J'ai trois fugures :
la première:
un repère (x,y).
un carreau = 1 unité
les coordonnées des points:
A0 (0.5 ; 0)
A1 (0 ; 1)
A2 (-2 ; 0)
A3 (0 ; -4)
A4 (8 ; 0)

A0 est relié à A1 (avec une droite) relié à A2 (avec une droite) relié à A3
(avec une droite) relié à A4 (avec une droite).

La seconde:
Même repère:
A0 (8 ; 0)
A1 (4 ; 4)
A2 (0 ; 4)
A3 (2 ; 2)
A4 (-2 ; 0)
A5 (-1 ; -1)
A6 (0 ; -1)
A7 (-0.5 ; -0.5)

Et la troisième:
pas de repère, page à carreaux ; 1 carreau = 1 unité.

O4O3 = 4 (segment vertical)
O3O2 = 2 (segment horizontal)
O2O1 = 1 (segment vertical)
(Ces 4 points forment un L)

A0 : un carreau à gauche de O1
A1 : un carreau au dessus de O1
A2 : deux carreaux à droite de O2
A3 : quatre carreaux en dessous de O3
A4 : huit carreaux à gauche de O4

A0, A1, A2, A3, A4 sont relié pat des quarts de cercles

J'espère que mes descriptions de figures sont claires et suffisantes.
Merci de m'aider, je ne comprends pas la méthode, le problème est qu'aucun
exercice de ce genre n'ont été fait en classe.

[Anonyme]

réponse au premier des 3 exos (bon courage)

Supposons que tu sois en 1ère

tu poses An le point de coordonnées (x(n),y(n)) et tu cherches une relation
entre x(n+1), y(n), y(n+1) et x(n).
dans le premier cas, y(1)= 2x(0) et x(1)=0
puis x(2)= -2y(1) et y(2)=0
puis y(3)= 2x(2) et x(3)=0

en admettant que x(n)=0 si n est impair et y(n)=0 sinon

u=vect(A(n)A(n+1)) a pour composantes (x(n+1)-x(n) ; y(n+1)-y(n))
si n est pair, n+1 est impair donc x(n+1)=0 et y(n)=0
donc u : (-x(n) ; y(n+1))
et norm(u)²=x(n)²+y(n+1)²=x(n)²+4x(n)²=5x(n)²
d'où L(n+1)=A(n)A(n+1)=/x(n)/rac(5)

de même, L(n+2)=A(n+1)A(n+2)=/y(n+1)/rac5
or y(n+1)=2x(n) donc L(n+2)/L(n+1)=2.

si n est impair u : (x(n+1) ; -y(n)) et
norm(u)²=4y(n)²+y(n)² donc A(n)A(n+1)=/y(n)/rac(5) et on procède de la même
manière.

ça me paraît bien long. (et je ne me suis pas relu)


si maintenant tu es en terminale,
tu conjectures et tu construis une récurrence.



"Alexandre" a écrit dans le message news:
40ae36a9$0$21574$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai encore un petit exercice, je ne comprends pas du tout
comment
> procéder.
>
> L'énoncé:
> Observer les figures suivantes et démontrer que les longueurs A(n) A(n+1)
> sont des termes d'une suite géométrique puis calculer la longueur du
> parcours
> A0A1A2[...]A10.
>
> J'ai trois fugures :
> la première:
> un repère (x,y).
> un carreau = 1 unité
> les coordonnées des points:
> A0 (0.5 ; 0)
> A1 (0 ; 1)
> A2 (-2 ; 0)
> A3 (0 ; -4)
> A4 (8 ; 0)
>
> A0 est relié à A1 (avec une droite) relié à A2 (avec une droite) relié à
A3
> (avec une droite) relié à A4 (avec une droite).
>
> La seconde:
> Même repère:
> A0 (8 ; 0)
> A1 (4 ; 4)
> A2 (0 ; 4)
> A3 (2 ; 2)
> A4 (-2 ; 0)
> A5 (-1 ; -1)
> A6 (0 ; -1)
> A7 (-0.5 ; -0.5)
>
> Et la troisième:
> pas de repère, page à carreaux ; 1 carreau = 1 unité.
>
> O4O3 = 4 (segment vertical)
> O3O2 = 2 (segment horizontal)
> O2O1 = 1 (segment vertical)
> (Ces 4 points forment un L)
>
> A0 : un carreau à gauche de O1
> A1 : un carreau au dessus de O1
> A2 : deux carreaux à droite de O2
> A3 : quatre carreaux en dessous de O3
> A4 : huit carreaux à gauche de O4
>
> A0, A1, A2, A3, A4 sont relié pat des quarts de cercles
>
> J'espère que mes descriptions de figures sont claires et suffisantes.
> Merci de m'aider, je ne comprends pas la méthode, le problème est qu'aucun
> exercice de ce genre n'ont été fait en classe.
>
>
>
>
>

[Anonyme]

Bonjour,

[requote dans l'ordre]

> "Alexandre" a écrit dans le message news:
> 40ae36a9$0$21574$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Bonjour, j'ai encore un petit exercice, je ne comprends pas du tout
>> comment procéder.
>>
>>L'énoncé:
>>Observer les figures suivantes et démontrer que les longueurs A(n) A(n+1)
>>sont des termes d'une suite géométrique puis calculer la longueur du
>>parcours
>>A0A1A2[...]A10.
>>
>>J'ai trois fugures :
>>la première:
>>un repère (x,y).
>>un carreau = 1 unité
>>les coordonnées des points:
>>A0 (0.5 ; 0)
>>A1 (0 ; 1)
>>A2 (-2 ; 0)
>>A3 (0 ; -4)
>>A4 (8 ; 0)
>>
>>A0 est relié à A1 (avec une droite) relié à A2 (avec une droite)
>>relié à A3 (avec une droite) relié à A4 (avec une droite).
>>[/color]
[snip les autres exos]

MesNa a répondu:
> réponse au premier des 3 exos (bon courage)
> Supposons que tu sois en 1ère
>
> tu poses An le point de coordonnées (x(n),y(n)) et tu cherches
> une relation entre x(n+1), y(n), y(n+1) et x(n).
> dans le premier cas, y(1)= 2x(0) et x(1)=0
> puis x(2)= -2y(1) et y(2)=0
> puis y(3)= 2x(2) et x(3)=0
[...]
> ça me paraît bien long. (et je ne me suis pas relu)

moi aussi ...
Comme un dessin vaut mieux qu'un long discours :

: *------B-*
: | | |
: C------O-A
: | |
: | |
: | |
: | |
: | |
: | |
: *------D

Comme d'hab, avec juste 4 points on peut avoir n'importe quoi...
Donc il faut un peu d'imagination pour "deviner" la règle de
construction.
Les rectangles OA*B et OB*C sont semblables longueur/largeur = 2
Ben tiens, les rectangles OB*C et OC*D aussi !
Quelle coincidence !

La règle semble "on construit à chaque fois un rectangle semblable en
partant du dernier côté".
En ce qui concerne BC/AB = ... OB/OA !
Conclure...

Pour les autres exos c'est le même principe, on a à chaque fois un motif
semblable accroché au précédent. Quelques considérations sur les
rapports des segments homologues et le tour est joué.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

On 2004-05-21, philippe 92 wrote:

> Pour les autres exos c'est le même principe, on a à chaque fois un motif
> semblable accroché au précédent. Quelques considérations sur les
> rapports des segments homologues et le tour est joué.

Ben le tour il est pas trop joué pour la deuxième figure.
M'a pas l'air d'être géométrique... Ou c'est moi qui fatigue?

--
E-mail: enlevez pasde, pub et .invalid.
http://www.vie-privee.org/comm299

[Anonyme]

Bonjour,

Vincent Couquiaud a écrit:
> On 2004-05-21, philippe 92 wrote:
>[color=green]
>>Pour les autres exos c'est le même principe, on a à chaque fois un motif
>>semblable accroché au précédent. Quelques considérations sur les
>>rapports des segments homologues et le tour est joué.
>
>
> Ben le tour il est pas trop joué pour la deuxième figure.
> M'a pas l'air d'être géométrique... Ou c'est moi qui fatigue?[/color]

Non c'est moi... ;-(
Avec les coordonées indiquées :
A0 (8 ; 0)
A1 (4 ; 4)
A2 (0 ; 4)
A3 (2 ; 2)
A4 (-2 ; 0)
A5 (-1 ; -1)
A6 (0 ; -1)
A7 (-0.5 ; -0.5)

A0-A1 = 4sqrt(2)
A1-A2 = 4
A2-A3 = 2sqrt(2)
Jusqu'ici ca va... rapport 1/sqrt(2)
Bing !
A3-A4 = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5) beurk

Et puis ça reprend vers la fin, rapport 1/sqrt(2) :
A4-A5 = sqrt(2)
A5-A6 = 1
A6-A7 = sqrt(2)/2

Erreur de recopie qque part ???
Par exemple A3 = (-2; 2) ?
Et tant qu'à faire pour que la figure soit jolie :
A7 = (+0.5; -0.5)
avec un empilement de triangles rectangles isocèles bien réguliers,
avec un sommet en (0; 0), de plus en plus petits.

Bon d'accord, j'ai survolé un peu la première fois ...

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

> Avec les coordonées indiquées :
> A0 (8 ; 0)
> A1 (4 ; 4)
> A2 (0 ; 4)
> A3 (2 ; 2)
> A4 (-2 ; 0)
> A5 (-1 ; -1)
> A6 (0 ; -1)
> A7 (-0.5 ; -0.5)
>
> A0-A1 = 4sqrt(2)
> A1-A2 = 4
> A2-A3 = 2sqrt(2)
> Jusqu'ici ca va... rapport 1/sqrt(2)
> Bing !
> A3-A4 = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5) beurk
>
> Et puis ça reprend vers la fin, rapport 1/sqrt(2) :
> A4-A5 = sqrt(2)
> A5-A6 = 1
> A6-A7 = sqrt(2)/2
>
> Erreur de recopie qque part ???


Oui j'ai fait une petite erreure, c'est bien A3 (.2 ; 2) et A7 (0.5 ; -0.5)
(erreure qui peut coûter cher, désolé)

Je pense avoir compris, c'est en réalité très simple, je calcul les
longueures de tous les segments.
Ensuite je monter que ces points appartiennent à une suite géométrique en
divisant les valeurs trouvées.


> Par exemple A3 = (-2; 2) ?
> Et tant qu'à faire pour que la figure soit jolie :
> A7 = (+0.5; -0.5)
> avec un empilement de triangles rectangles isocèles bien réguliers,
> avec un sommet en (0; 0), de plus en plus petits.