Théorème de Rolle

[bentaarito]

Bonsoir,
Soit f une fonction dérivable sur ]0,1[ et continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)=0 .Montrer qu'il existe x appartenant à ]0,1[ tel que f(x)=f '(x).

[ksavier]

En notant
Et en considérant la fonction g continue, dérivable (pourquoi ?) définie par :

Il suffit de trouver deux réels a<b dans [0;1] qui vérifient et .
Puis le théorème de Rolle permet de conclure.

Indication : on pourra remarquer que la fonction f est surjective, et ainsi exploiter l'existence d'un réel qui vérifie pour trouver b.

[ffpower]

Ton indic est fausse, f n'a aucune raison d'être surjective (surjective pour quel ensemble d'arrivée d'ailleurs?) par ex f=0 vérifie les hypothèses et ne passe pourtant pas par 1

[ksavier]

Ton indic est fausse, f n'a aucune raison d'être surjective (surjective pour quel ensemble d'arrivée d'ailleurs?) par ex f=0 vérifie les hypothèses et ne passe pourtant pas par 1

Peut être que je me trompe (mauvaise interprétation du >),
en tout cas, je crois que la surjectivité permet de répondre à la question.
Ensuite, on peut regarder si on peut affaiblir les hypothèses et enlever la surjectivité.
J'aime croire que la piste reste bonne.

[ffpower]

Tu n'a toujours pas précisé quel était pour toi l'espace d'arrivée..
Et comme je disait, f=0 vérifie les hpothèses, pourtant elle n'atteint pas le point 1 comme tu le sous entends.

Il n'est pas nécessaire de rajouter d'hypothèses, l'énoncé est toujours vrai..
(penser à une méthode type "équa diff")

[bentaarito]

En notant
Et en considérant la fonction g continue, dérivable (pourquoi ?) définie par :

Il suffit de trouver deux réels a<b dans [0;1] qui vérifient et .
Puis le théorème de Rolle permet de conclure.

Indication : on pourra remarquer que la fonction f est surjective, et ainsi exploiter l'existence d'un réel qui vérifie pour trouver b.

on peut prendre a=0 mais je trouve pas le b

[ksavier]

Je vois comment se passer de la surjectivité, lorsque la fonction f est positive.
Cela doit peut être se généraliser dans les autres cas.


a=0 oui.

Ensuite, on remarque que si f est constante nulle, alors le problème devient évident.

on considère alors le point c de [0,1] , où f atteint son maximun (il peut y en avoir plusieurs, on prend le premier). Notons d ce maximum.

on montre que F(c)donc F(c)donc F(c)donc F(c)-f(c)<0
donc g(c)<0

De plus F(1)-f(1)=F(1)>0 par positivité.
Donc g(1)>0


La fonction g est continue donc elle possède la propriété de la valeur intermédiaire, il existe donc un réel b compris entre c et 1 et qui vérifie g(b)=0




Je regarde les cas où la fonction n'est pas de signe constant.
Cela se généralise assez bien (sauf erreur maladroite) à tous les cas de figure :

si la fonction f est négative sur [0;1] on résout le problème en considérant h=-f et donc h'=-f'
La preuve précédente assure l'existence de x tel que h(x)=h'(x) et donc f(x)=f '(x)

Si la fonction f change de signe, alors :
- Si F(1)>0 la preuve continue de fonctionner, car elle assure l'existence d'un réel c (d'ailleurs on n'est même pas obligé de choisir c pour que la fonction soit maximale en fait :we: )
- Si si la fonction f est plus souvent en dessous qu'au dessus, c'est à dire si F(1)<0 alors on travaille avec h, qui donne un H(1)>0.
- Si F(1)=0 alors b=1 convient.

J'espère ne pas avoir raconté trop de bêtise.


j'espère que fffpower ne va pas nous laisser tomber et va nous en dire plus sur sa piste.

[ffpower]

j'espère que fffpower ne va pas nous laisser tomber et va nous en dire plus sur sa piste.

:we:

Quid de g(x)=f(x)e^{-x}?..

ps: pour compléter ta méthode, tu peux probablement te ramener au cas "f de signe constant" en te plaçant entre deux zeros successifs de f (qui existent forcément à moins que f soit identiquement nulle)

[ksavier]

:we:

Quid de g(x)=f(x)e^{-x}?..

ps: pour compléter ta méthode, tu peux probablement te ramener au cas "f de signe constant" en te plaçant entre deux zeros successifs de f (qui existent forcément à moins que f soit identiquement nulle)

:ptdr: j'aime beaucoup cette fonction g, elle donne le résultat d'une façon très élégante. :we:

Et puis au sujet de la surjectivité, je crois que les mots "de" "dans" et "sur" sont largement mal utilisés en maths.
f définie de I dans J
f définie de I sur J (surjectivité)
quand on a seulement : f définie sur A, je comprends (c'est peut être une erreur) que f définie de A sur A sinon il manque une information sur l'ensemble de départ ou celui d'arrivé :mur:

[mathelot]

bonjour,

l'expression "f définie sur A" n'a rien à voir avec l'expression "f définie de B sur A"
la 1ère expression désigne le domaine de définition de f, la seconde le codomaine de f ou ensemble d'arrivée et f surjective

[ksavier]

bonjour,

l'expression "f définie sur A" n'a rien à voir avec l'expression "f définie de B sur A"
la 1ère expression désigne le domaine de définition de f, la seconde le codomaine de f ou ensemble d'arrivée et f surjective

je comprends bien, cette remarque. Sauf que les phrases sont si proches l'une de l'autre...
Les mathématiques sont déjà très compliqué comme cela, s"il faut les rendre artificiellement difficile avec des mots ayant plusieurs sens et prêtant à une confusion :triste:

Il faudrait que j'aille lire bourbaki pour regarder cela de plus près.

Merci pour ta réponse