Définition

[sad13]

Bonsoir, je voudrais savoir la définition officielle d'un nombre premier en Terminale car certains ouvrages mettent" un nombre est premier s'il n'admet comme diviseurs positifs que 1 et lui même" or dans ce cas là -2 n'est pas premier ; d'autres mettent "c'est un nombre qui admet exactement que deux diviseurs positifs(distincts)" ok mais on a le même souci car -2

[JackeOLanterne]

Le nombre premier est un entier naturel, admettant exactement deux diviseurs : "1" et lui-même.
Quelques cours de Tle S sauraient aiguiller vers des exos en applications appropriés (à la source).

[el niala]

-2 n'est pas un entier naturel, la définition de primalité ne s'applique qu'à

désolé, j'ai écrit pendant la 1ère réponse...

pour sad13, dans certains ouvrages ils citent des entiers négatifs comme "premiers" ?

[ksavier]

Bonsoir, je voudrais savoir la définition officielle d'un nombre premier en Terminale car certains ouvrages mettent" un nombre est premier s'il n'admet comme diviseurs positifs que 1 et lui même" or dans ce cas là -2 n'est pas premier ; d'autres mettent "c'est un nombre qui admet exactement que deux diviseurs positifs(distincts)" ok mais on a le même souci car -2

En terminale comme ailleurs. Dans on a la définition suivante :
on dit qu'un nombre p>1 est premier lorsqu'il n'a pas de diviseurs propres (c'est à dire autre que 1 et p).

-2 n'est pas un nombre premier.

et parce que à tous les coups, le temps que j'écrive ces lignes va apparaître plein de message donnant la définition, alors j'ajoute une remarque :

L'unicité de la décomposition primale est vraie à un inversible prés de , et deux seuls inversible de sont 1 et -1.
Ainsi -2 = (-1)x2.

[sad13]

Oui, niala la prof ce matin m'a dit qu'il y a deux définitions(sans me convaincre)

"La meilleure définition c'est dire un nombre est premier dans Z si sa valeur absolue est un nombre premier dans N " et l'autre définition est " un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même"

[ksavier]

Oui, niala la prof ce matin m'a dit qu'il y a deux définitions(sans me convaincre)

"La meilleure définition c'est dire un nombre est premier dans Z si sa valeur absolue est un nombre premier dans N " et l'autre définition est " un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui même"

hum, la deuxième n'est pas bonne, sinon -1 deviendrait premier.

[sad13]

exactement deux diviseurs naturels!

[ksavier]

très bien
:lol3:

[Nightmare]

Salut,

si l'on veut vraiment "décider" si les opposés des entiers naturels premiers sont aussi considérés comme des nombres premiers, il n'y a qu'une seule solution, c'est se demander ce qu'on attend d'un nombre premier.

Au lycée, on définit un nombre premier comme un nombre qui n'a que deux diviseurs distincts, mais ce qu'on utilise et invoque chez un nombre premier lorsqu'on en a besoin, c'est le fait que ce soient les éléments de base d'une décomposition irréductible, qu'on appelle décomposition en facteurs premiers.

Or les opposés des entiers premiers positifs jouent tout autant ce rôle pour les nombres négatifs que les entiers premiers positifs pour les nombres positifs.

Donc a posteriori, on a bien envie de dire que les opposés des nombres premiers positifs sont aussi des nombres premiers.

A un autre niveau, on définit dans un anneau un nombre premier comme un nombre qui vérifie le lemme d'Euclide, à savoir que p est premier si et ssi p|ab => (p | a ou p | b), et là encore, les opposés des nombres premiers positifs vérifient bien cette propriété.

Bref, en fait, la seule chose qui s'oppose à les appeler nombre premier, c'est la définition via les deux diviseurs distincts, mais cette définition est finalement tout sauf représentatif de ce qu'est réellement un nombre premier, car au final, ce qui importe chez un nombre premier ce n'est pas son nombre de diviseurs, mais ce qu'ils sont, à savoir des éléments inversibles et des produits de ces éléments avec p. Il s'avère qu'effectivement chez les entiers naturels, le seul élément inversible est 1 donc on retrouve bien deux diviseurs distincts, 1 et 1p=p, mais à partir du moment où l'on attrape de nouveaux éléments inversibles, un élément premier va avoir plus de diviseurs, tout en ayant les mêmes propriétés que ce qu'on appelle "nombre premier" au lycée.

[sad13]

merci mais là je parle du niveau lycée où l'on fait une étude assez "basique" des nombres premiers

[ksavier]

Je suis presque complétement d'accord, Je voudrais compléter le discours en disant qu'il me semble que ce qui est fondamental c'est d'obtenir l'unicité de la décomposition primale. C'est la raison pour laquelle tous les inversibles d'un anneau euclidien (client de l'arithmétique) sont exclus de l'ensemble des premiers.
Soyons plus précis. C'est la raison pour laquelle le lemme d'Euclide ne suffit pas à définir la notion de primalité ( il me semble d'ailleurs, que le lemme d'Euclide n'est pas une équivalence). Si mes souvenir sont justes, on parle d'éléments irréductibles. On ne parle pas de nombres premiers mais d'idéal premier. Dans , les idéaux sont monogènes et leur générateur sont des nombres positifs. Ainsi, -2 est irréductible mais l'idéal premier s'écrit (2). On écrit plus rapidement que 2 est un nombre premier.

Mais je crois que ceci sort largement du cadre de la question posée :zen:

[Nightmare]

Salut ksavier,

Tu as bien raison de préciser que c'est le caractère unique (au facteur inversible près) qui compte.

Cependant, concernant le lemme d'Euclide, ce sont bien les nombres premiers qui doivent le vérifier. Les éléments irréductibles sont les nombres non inversibles dont une décomposition en produit contient toujours au moins un inversible.

Dans un anneau principal ou factoriel les deux notions coïncident, c'est le cas dans Z, mais ce n'est pas toujours le cas.

[ksavier]

:ptdr: oui, j'ai corrigé mon texte au même moment que tu m'envoyais cette précision sur l’irréductibilité.