Exercice Logarythme

[Nono524]

Bonjour,
j'ai un devoir de maths à faire et je ne comprend pas très bien le sens des questions
on propose de rechercher les entiers a et b tels que a^b = b^a avec a< b
1) démontrer que a^b = b^a équivaut à lna/a = lnb/b
2) par l'étude de la fonction f(x)= lnx/x montrer que les seuls valeurs possible de a sont 1 et 2. Conclure
3) comparer 10000^100001 et 100001^10000




Pour la 1) pas de problème mais en revanche pour la 2) je ne vois pas très bien le sens de la question
Merci de me répondre au plus vite :)

[Manny06]

Bonjour,
j'ai un devoir de maths à faire et je ne comprend pas très bien le sens des questions
on propose de rechercher les entiers a et b tels que a^b = b^a avec a< b
1) démontrer que a^b = b^a équivaut à lna/a = lnb/b
2) par l'étude de la fonction f(x)= lnx/x montrer que les seuls valeurs possible de a sont 1 et 2. Conclure
3) comparer 10000^100001 et 100001^10000




Pour la 1) pas de problème mais en revanche pour la 2) je ne vois pas très bien le sens de la question
Merci de me répondre au plus vite

tu dois trouver 2 entiers a et b tels que f(a)=f(b) donc deux points de même ordonnée y sur la courbe
tu constate que sur ]0;1[ f(x) croit de -infini à 0 sur [1;e] f croit de 0 à 1/e sur [e;+infini f decroit entre 1/e et 0
donc y est forcement un elelment de [0;1/e]
les abscisses correspondantes sont donc dans [1;e] ou [e;+infini[
la plus petite a est donc dans [1;e] de plus a entier donc a=1 ou a=2

[Nono524]

tu dois trouver 2 entiers a et b tels que f(a)=f(b) donc deux points de même ordonnée y sur la courbe
tu constate que sur ]0;1[ f(x) croit de -infini à 0 sur [1;e] f croit de 0 à 1/e sur [e;+infini f decroit entre 1/e et 0
donc y est forcement un elelment de [0;1/e]
les abscisses correspondantes sont donc dans [1;e] ou [e;+infini[
la plus petite a est donc dans [1;e] de plus a entier donc a=1 ou a=2

D'accord cela me parait plus claire
Et pour la 3) on peut retrouver a et b mais après il faut rédiger comment pour dire que ces deux nombres sont égaux ?

[Manny06]

D'accord cela me parait plus claire
Et pour la 3) on peut retrouver a et b mais après il faut rédiger comment pour dire que ces deux nombres sont égaux ?

d'abord la valeur a =1 ne convient pas f(1) =0 et la valeur 0 n'est pas prise dans [e;+infini[
il reste a=2
il faut donc trouver b entier dans [e;+infini[ tel que (ln2)/2=(lnb)/b
essaie les valeurs b=3 et b=4 ensuite tu pourras conclure

pour la 3) sers toi dela decroissance de f dans [e;+infini[

[Nono524]

d'abord la valeur a =1 ne convient pas f(1) =0 et la valeur 0 n'est pas prise dans [e;+infini[
il reste a=2
il faut donc trouver b entier dans [e;+infini[ tel que (ln2)/2=(lnb)/b
essaie les valeurs b=3 et b=4 ensuite tu pourras conclure

pour la 3) sers toi dela decroissance de f dans [e;+infini[

Oui mais l'exercice nous demande de montrer que les seuls valeurs possible pour a sont 1

[Manny06]

Oui mais l'exercice nous demande de montrer que les seuls valeurs possible pour a sont 1

lis bien ton texte
les seules valeurs possibles pour a sont 1 et 2
ensuite rien ne prouve que ces valeurs conviennent
par ex si a=1 1^b=b^1 donne 1=b ce qui est exclu puisque a<b

[Nono524]

lis bien ton texte
les seules valeurs possibles pour a sont 1 et 2
ensuite rien ne prouve que ces valeurs conviennent
par ex si a=1 1^b=b^1 donne 1=b ce qui est exclu puisque a<b

Ah d'accord merci pour votre aide

[Manny06]

Ah d'accord merci pour votre aide

as-tu essayé de trouver des solutions pour a=2
compare 2^3 et 3^2
2^4 et 4^2

[Nono524]

as-tu essayé de trouver des solutions pour a=2
compare 2^3 et 3^2
2^4 et 4^2

2^3 n'est pas égale à 3^2
en revanche 2^4 = 4^2