Point répulsif d'une suite récurrente

[AlexisD]

Bonjour à tous,

Je suis en train de visiter la page de Gilles Costantini : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/agreg_fichiers/recur.pdf

C'est un cours d'analyse sur les suites récurrentes du type .
Il y a notamment ce théorème 1.4.2 de la page 10 fort intéressant donnant des critères de convergence de la suite en fonction de point fixe de la fonction .

Si alors s est un point répulsif, c'est-à-dire qu'on peut trouver un voisinage V de s et un telle que la suite ainsi définie diverge.

La démonstration n'est pas trop compliquée, elle utilise le théorème des accroissements finis à de nombreuses reprises. Quand on a un point s qui vérifie l'hypothèse ci dessus,il montre que les seules suites convergentes vers s sont nécessairement stationnaires à partir d'un certain rang. D'accord.

Il utilise ce curieux argument pour conclure ensuite :

L'ensemble est dénombrable.

Et là je décroche. Pourquoi ? Cela voudrait dire en particulier que l'ensemble des x tels que f(x)=s est au plus dénombrable ! Et même sans cela, il suffit qu'à un moment donné la fonction soit localement constante pour que le raisonnement coince. Alors quelle est la raison ? La fonction n'est pourtant pas injective en toute généralité et surtout, y a -t-il encore stabilité (f(V) c V) ?

Merci à quiconque pourra m'éclairer ! Je prends également toute référence dans la littérature.

[Doraki]

si tu supposes que pour tout x de R, x a au plus un nombre dénombrable d'antécédents par f (par exemple si la fonction est continue et qu'elle est nulle part localement constante), alors oui il y a un nombre dénombrable de valeurs de u0 tel que la suite est stationaire sur s.

Et dans ta citation t'as 2 erreurs, c'est pour tout voisinage V de s, on peut trouver u0 telle que la suite ne converge pas vers s (c'est la négation de point fixe attractif)

[AlexisD]

si tu supposes que pour tout x de R, x a au plus un nombre dénombrable d'antécédents par f (par exemple si la fonction est continue et qu'elle est nulle part localement constante), alors oui il y a un nombre dénombrable de valeurs de u0 tel que la suite est stationaire sur s.

Merci Doraki,

Effectivement, j'ai mal recopié le passage de la preuve.
Pour le reste, doit-on conclure que l'énoncé de Mr Costantini est faux si la condition que tu as énoncée sur la fonction f n'est pas respectée ?

[Doraki]

Ben sa preuve est insuffisante (c'est facile de faire des exemples où on a un point fixe avec |f'(s)|>1 et avec une infinité non dénombrable de points u0 qui donnent une suite stationaire sur s), mais il me semble quand même que le résultat lui-même est vrai (pour tout voisinage de s on peut trouver un point u0 tel que la suite obtenue n'est pas stationnaire sur s).
Faut que je réfléchisse à une preuve.

[Doraki]

Bon en fait c'est pas très dur :

supposons f'(s) > 1.
Alors comme f est C1 il existe un voisinage I de s tel que f' > 1 sur I.
On a alors que f est une bijection de I sur f(I) telle que sa réciproque est contractante.

Soit u0 dans I avec u0 > s.
On construit la suite un indexée par Z en posant pour tout n dans Z, u(n+1) = f(un).
Pour n > 0, c'est la suite normale, et pour n négatif, on prend les antécédents successifs de u0 dans I.
Comme f-1 sur I est contractante et n'a qu'un seul point fixe, s, la suite u(-n) converge vers s.
Ainsi, pour tout voisinage V de s, V contient un intervalle de la forme [s ; un], il suffit de prendre n suffisemment loin dans les négatifs.

Si la suite (un) pour n>=0 n'est pas stationnaire sur s, alors on a fini puisque tout voisinage V de s contient un terme un, et la suite obtenue à partir de un n'est pas stationnaire sur s.

Sinon, alors comme u0 > s, la suite (un) ne peut pas être indéfiniment croissante, donc il existe un entier m tel que u(m-1) < um et u(m+1) < um. C'est à dire f(u(m-1)) > u(m-1) et f(um) < um.
Comme f est continue il existe donc un nombre vm dans [u(m-1) ; um] tel que f(vm) = vm.
Comme f est continue, pour tout n < m-1, f([un ; u(n+1)]) contient [u(n+1) ; u(n+2)], et donc on peut définir une suite (vn) indexée par Z telle que pour tout n, v(n+1) = f(vn), et telle que pour tout n<=m, vn est dans [u(n-1) ; un].
Alors pour tout voisinage V on peut choisir un n suffisement loin dans les négatifs tel que V contienne [u(n-1);un], et donc contienne vn, et la suite obtenue à partir de ce vn est stationnaire sur vm, (et donc n'est pas stationnaire sur s).
On a bien trouvé des points de départs arbitrairement proches de s qui ne génèrent pas une suite stationnaire sur s.


Dans le cas où f'(s) < (-1), on considère g = f°f qui est C1, dont s est un point fixe, et qui vérifie g'(s) = f'(s)*f'(s) > 1, donc on applique ce qu'on vient de faire à g.
Si u0 génère avec f une suite stationnaire sur s, alors u0 génère avec g une suite stationaire sur s, donc un point de départ qui donne avec g une suite non stationnaire sur s sera un point de départ qui donne avec f une suite non stationaire sur s.

[AlexisD]

Bon en fait c'est pas très dur :

supposons f'(s) > 1.
Alors comme f est C1 il existe un voisinage I de s tel que f' > 1 sur I.
On a alors que f est une bijection de I sur f(I) telle que sa réciproque est contractante.

Soit u0 dans I avec u0 > s.
On construit la suite un indexée par Z en posant pour tout n dans Z, u(n+1) = f(un).
Pour n > 0, c'est la suite normale, et pour n négatif, on prend les antécédents successifs de u0 dans I.
Comme f-1 sur I est contractante et n'a qu'un seul point fixe, s, la suite u(-n) converge vers s.
Ainsi, pour tout voisinage V de s, V contient un intervalle de la forme [s ; un], il suffit de prendre n suffisemment loin dans les négatifs.

Si la suite (un) pour n>=0 n'est pas stationnaire sur s, alors on a fini puisque tout voisinage V de s contient un terme un, et la suite obtenue à partir de un n'est pas stationnaire sur s.

Sinon, alors comme u0 > s, la suite (un) ne peut pas être indéfiniment croissante, donc il existe un entier m tel que u(m-1) u(m-1) et f(um) 1, donc on applique ce qu'on vient de faire à g.
Si u0 génère avec f une suite stationnaire sur s, alors u0 génère avec g une suite stationaire sur s, donc un point de départ qui donne avec g une suite non stationnaire sur s sera un point de départ qui donne avec f une suite non stationaire sur s.

Merci. L'astuce du vm est intéressante.
Cela dit, n'a-t-on pas un problème de stabilité quand il faut définir les f^{-1}. On sait déjà que f(I)cI, mais pour être sûr de ne pas avoir de problème, il faudrait f^{-1}(I)cI soit f(I)=I, non ?

[Doraki]

Merci. L'astuce du vm est intéressante.
Cela dit, n'a-t-on pas un problème de stabilité quand il faut définir les f^{-1}. On sait déjà que f(I)cI, mais pour être sûr de ne pas avoir de problème, il faudrait f^{-1}(I)cI soit f(I)=I, non ?

Oui f^-1 c'est pas clair, mais j'ai précisé à chaque fois :
Pour la suite un, u(n-1) = l'unique antécédent dans I de un (qui est dans I) par f.
Pour la suite vn, v(n-1) = un antécédent dans [u(n-2) ; u(n-1)] de vn (qui est dans [u(n-1) ; un]) par f.

De cette façon là, on obtient à coup sûr des suites qui tendent vers s.
Il peut très bien y avoir des antécédents ailleurs mais on ne les prend pas.

[AlexisD]

Oui f^-1 c'est pas clair, mais j'ai précisé à chaque fois :
Pour la suite un, u(n-1) = l'unique antécédent dans I de un (qui est dans I) par f.
Pour la suite vn, v(n-1) = un antécédent dans [u(n-2) ; u(n-1)] de vn (qui est dans [u(n-1) ; un]) par f.

De cette façon là, on obtient à coup sûr des suites qui tendent vers s.
Il peut très bien y avoir des antécédents ailleurs mais on ne les prend pas.

Ok je comprends l'idée. Mais le fait que u_-n soit toujours dans f(I) pour lui trouver un antécédent, c'est trivial ?

[Doraki]

C'est trivial parceque f(I) contient I.
si I est de la fome [a;b] avec acomme f'>1 sur I et que f(s) = s, f(a) < a < s < b < f(b).

[AlexisD]

C'est trivial parceque f(I) contient I.
si I est de la fome [a;b] avec a1 sur I et que f(s) = s, f(a) < a < s < b < f(b).

en effet, encore ce détail qui m'avait échappé. Au moins cela répond pleinement à ma question. Je t'en remercie :++: