Exercice vecteur et centre de gravité

[krmn]

Bonjour,
J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice.

Le plan est muni d'un repère (O ; i; j) (vecteurs)
On considère less points A(1:3), B(6;4) et C(-1;1)

Partie 1:

1) Calculer les coordonnées des milieux respectifs I et J des segments [BC] et [AC].

1) Milieu I = (xB + xC)/ 2 ; (yB + yC)/ 2
= (6 - 1)/2 ; (4 - 1)/2
= 5/2 ; 3/2

Donc I(5/2 ; 3/2)

Milieu J = (xA + xC)/ 2 ; (yA + yC)/ 2
= (1 - 1)/2 ; (3 - 1)/2
= 0 ; 1

Donc J(0 ; 1)


2) En déduire des équations cartésiennes des médianes issues de A et de B du triangle ABC.

Je ne sais pas comment faire.


3) Calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.
Aucune idée pour calculer ces coordonnées.


Merci d'avance

PS: La prof nous a donné cet exercice, en nous expliquant vaguement les équations cartésiennes. C'est pour cela que je suis un peu perdu

[titine]

Bonjour,
J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice.

Le plan est muni d'un repère (O ; i; j) (vecteurs)
On considère less points A(1:3), B(6;4) et C(-1;1)

Partie 1:

1) Calculer les coordonnées des milieux respectifs I et J des segments [BC] et [AC].

1) Milieu I = (xB + xC)/ 2 ; (yB + yC)/ 2
= (6 - 1)/2 ; (4 + 1)/2
= 5/2 ; 5/2

Donc I(5/2 ; 3/2)

Milieu J = (xA + xC)/ 2 ; (yA + yC)/ 2
= (1 - 1)/2 ; (3 + 1)/2
= 0 ; 1

Donc J(0 ; 2)


2) En déduire des équations cartésiennes des médianes issues de A et de B du triangle ABC.

Je ne sais pas comment faire.

La médiane issue de A est la droite (AI)
Tu as les coordonnées de A et de I .
Regarde dans ton cours comment on trouve l'équation cartésienne de la droite passant par A et I.

La médiane issue de B est la droite (BJ) ....

Rappel : médiane d'un triangle = droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

[krmn]

Merci, mais pour la question 1), c'est ma faute, j'ai mal recopié l'énoncé, c'est C(-1 ; -1)

[krmn]

La médiane issue de A est la droite (AI)
Tu as les coordonnées de A et de I .
Regarde dans ton cours comment on trouve l'équation cartésienne de la droite passant par A et I.

La médiane issue de B est la droite (BJ) ....

Rappel : médiane d'un triangle = droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Là est le probleme, je n'est pas de cours sur les équations cartésiennes C'est pour çà que je suis un peu perdu.

Merci d'avance

[jeffb952]

Là est le probleme, je n'est pas de cours sur les équations cartésiennes C'est pour çà que je suis un peu perdu.

Merci d'avance

BONSOIR krmn ! titine t'a bien débrouillé le début de ce problème !

Ta médiane (AI) est une droite qui passe par les points A et I.
Son équation est de la forme y = a x + b avec "a" = coefficient directeur de la droite et "b" est "l'ordonnée à l'origine" c'est à dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

La formule générale du coefficient directeur "a" est pour une droite (AB) passant par les points A(xA;yA) et B(xB;yB) a = (yA - yB) / (xA - xB) ou bien (yB - yA) / (xB - xA)
"a" est aussi appelé "pente de la droite" ou "taux de variation".....

Ici, ta droite passe par les points A et I. Applique la formule générale pour ces points A et I.

Quant tu as trouvé ton coefficient "a" ( pour (AI), tu devrais trouver a= -1 ) tu écris que la droite passe par le point A par exemple ; c'est à dire yA = -1*xA + b et tu déduis "b".
TU obtiens ainsi l'équation de ta droite (AI).

Même méthode pour (BJ). BON COURAGE !

[titine]

Il vous demande vraiment une équation cartésienne de droite sans avoir fait de cours ?

Autre méthode pour avoir l'équation cartésienne de (AI) :
On calcule les coordonnées du vec(AI).
On prend un point M de coord (x;y)
On calcule les coordonnées du vec(AM)
On dit que M appartient à la droite (AI) si et seulement si les vecteurs AI et AM sont colinéaires.
On écrit la condition de colinéarité des 2 vecteurs. On obtient alors une équation en x et y. c'est l'équation cartésienne de la droite.

[jeffb952]

Il vous demande vraiment une équation cartésienne de droite sans avoir fait de cours ?

Autre méthode pour avoir l'équation cartésienne de (AI) :
On calcule les coordonnées du vec(AI).
On prend un point M de coord (x;y)
On calcule les coordonnées du vec(AM)
On dit que M appartient à la droite (AI) si et seulement si les vecteurs AI et AM sont colinéaires.
On écrit la condition de colinéarité des 2 vecteurs. On obtient alors une équation en x et y. c'est l'équation cartésienne de la droite.

BONSOIR titine ! J'apprécie toujours le coup d'oeil différent pour résoudre un problème !
Bien sûr que ta méthode est superbe ! Je me rattache souvent aux cours antérieurs du Collège, vu le niveau des élèves que je côtoie ...
Cordialement !

[krmn]

Il vous demande vraiment une équation cartésienne de droite sans avoir fait de cours ?

Autre méthode pour avoir l'équation cartésienne de (AI) :
On calcule les coordonnées du vec(AI).
On prend un point M de coord (x;y)
On calcule les coordonnées du vec(AM)
On dit que M appartient à la droite (AI) si et seulement si les vecteurs AI et AM sont colinéaires.
On écrit la condition de colinéarité des 2 vecteurs. On obtient alors une équation en x et y. c'est l'équation cartésienne de la droite.

Ok, merci. Donc j'ai trouvé:

AI(3/2 ; -3/2)
AM(xM - 1 ; yM-3)

Mais la, on fait: ?????
xM -1 = 3/2
yM - 3 = -3/2

Si on fait çà, on trouve:
xM = 5/2 et yM = 9/2

On a donc AM(5/2 ; 9/2)

On test si les vecteurs sont colinéaires:

3/2 * 9/2 - 5/2 * (-3/2) = 0
27/2 + 15/2 = 0
42/2 different de 0
Donc ils ne sont pas colineaires

[titine]

Ok, merci. Donc j'ai trouvé:

AI(3/2 ; -3/2)
AM(xM - 1 ; yM-3)

Mais la, on fait: ?????
xM -1 = 3/2
yM - 3 = -3/2

Non
Rappel : 2 vecteurs de coordonnées (x;y) et (x';y') sont colinéaires si et seulement si xx' - yy' = 0
Donc vec(AI) et vec(AM) colinéaires si et seulement si :
3/2*(y-3) - (-3/2)*(x-1) = 0
3/2y - 9/2 + 3/2x - 3/2 = 0
3/2x + 3/2y - 6 = 0
Ceci est l'équation cartésienne de la droite (AI).
Remarque : cette équation peut se simplifier :
3x + 3y - 12 = 0
x + y - 4 = 0

Remarque : on peu vérifier que les coord des points A et I vérifient bien cette équation

[jeffb952]

Non
Rappel : 2 vecteurs de coordonnées (x;y) et (x';y') sont colinéaires si et seulement si xx' - yy' = 0
Donc vec(AI) et vec(AM) colinéaires si et seulement si :
3/2*(y-3) - (-3/2)*(x-1) = 0
3/2y - 9/2 + 3/2x - 3/2 = 0
3/2x + 3/2y - 6 = 0
Ceci est l'équation cartésienne de la droite (AI).
Remarque : cette équation peut se simplifier :
3x + 3y - 12 = 0
x + y - 4 = 0

Remarque : on peu vérifier que les coord des points A et I vérifient bien cette équation

PARDON titine,
ta formule pour montrer la colinéarité de 2 vecteurs de coordonnées (x;y) et (x';y') n'est pas la bonne !
La relation qui entraîne la colinéarité est x*y' - x'*y = 0. Et c'est bien celle-là que tu as employée !

Je rajouterai que pour trouver les coordonnées du point G , point d'intersection des médianes, il lui faudra résoudre le système de 2 équations à 2 inconnues en x et y issues des équations cartésiennes des médianes qu'il a calculées.

BON COURAGE A TOUS !