Bonsoir
Dans un problème on se propose de montrer que le polynôme est irréductible dans avec les des entiers relatifs.
J'avoue que je trouve des difficultés pour résoudre cette question ; voici les pistes de réflexion que j'ai essayé :
j'ai supposé par l'absurde que avec A et B appartiennent à Z[X]. On a alors avec . On alors l'une des deux possibilités : soit soit l'inverse. Si on suppose que alors le polynôme A - 1 admet n racines (en occurrence les ) et donc ce qui est absurde. Ainsi, il y a des racines pour lesquelles et d'autres pour lesquelles . Si on note le sous-ensemble de pour lequel . On a alors immédiatement les résultats suivants :
et . Si on note le cardinal de I on a et puisque les sont distincts par le théorème de Gauss divise
On obtient donc (en raisonnant par l'absurde) et et
Après j'avoue que je bloque pour conclure (le cas de n impair est déjà résolu )
Si quelqu'un peut me donner un coup de main