Tle s-spé maths- Le petit théorème de Fermat

[baptisteo]

Bonjour à tous et à toutes.

C'est la première fois que je viens sur un forum car j'ai toujours essayé de faire les choses par moi même, mais aujourd'hui je me sens un peu perdu.

J'ai différentes questions que je n'arrive pas à répondre à propos du petit théorème de Fermat, dans lesquels notre professeur nous donne pour conseil de raisonner par l'absurde. Ce sont des questions abstraites et je ne sais pas du tout quoi faire. Cela fait plusieurs jours que je réfléchis et je suis complètement perdu..
Si vous pouviez m'aider, je vous en serai très reconnaissant. Les questions posées sont les suivantes :
a^(p-1) congru ) 1[p]
1) Montrer que si p est premier, il est premier avec tous les entiers qui le précède (on raisonnera par l'absurde, que se passerait-il si p n'étais pas premier avec k € ]1,p[ )
2) Montrer que si p est premier avec a et avec b, il est premier avec leur produit ab (on raisonnera par l’absurde : que se passerait-il si p n'étais pas premier avec ab ?)
3) Déduire de 2 et 3 que p est premier avec (p-1)!
4) Montrer que si k € [1;p-1] alors le reste de la division de ka par p est non nul (on raisonnera par l'absurde : que se passerait-il si ce reste était nul?)


Voila, je suis désolé d'avoir à vous demander de l'aide, mais je ne sais vraiment pas par ou commencer.. Merci à tous !

Baptisteo

[Manny06]

Bonjour à tous et à toutes.

C'est la première fois que je viens sur un forum car j'ai toujours essayé de faire les choses par moi même, mais aujourd'hui je me sens un peu perdu.

J'ai différentes questions que je n'arrive pas à répondre à propos du petit théorème de Fermat, dans lesquels notre professeur nous donne pour conseil de raisonner par l'absurde. Ce sont des questions abstraites et je ne sais pas du tout quoi faire. Cela fait plusieurs jours que je réfléchis et je suis complètement perdu..
Si vous pouviez m'aider, je vous en serai très reconnaissant. Les questions posées sont les suivantes :
a^(p-1) congru ) 1[p]
1) Montrer que si p est premier, il est premier avec tous les entiers qui le précède (on raisonnera par l'absurde, que se passerait-il si p n'étais pas premier avec k € ]1,p[ )
2) Montrer que si p est premier avec a et avec b, il est premier avec leur produit ab (on raisonnera par l’absurde : que se passerait-il si p n'étais pas premier avec ab ?)
3) Déduire de 2 et 3 que p est premier avec (p-1)!
4) Montrer que si k € [1;p-1] alors le reste de la division de ka par p est non nul (on raisonnera par l'absurde : que se passerait-il si ce reste était nul?)


Voila, je suis désolé d'avoir à vous demander de l'aide, mais je ne sais vraiment pas par ou commencer.. Merci à tous !

Baptisteo

si p est premier les seuls diviseurs de p sont p et 1
si p n'était pas premier avec k 1 d<=k

[Jota Be]

Bonjour à tous et à toutes.

C'est la première fois que je viens sur un forum car j'ai toujours essayé de faire les choses par moi même, mais aujourd'hui je me sens un peu perdu.

J'ai différentes questions que je n'arrive pas à répondre à propos du petit théorème de Fermat, dans lesquels notre professeur nous donne pour conseil de raisonner par l'absurde. Ce sont des questions abstraites et je ne sais pas du tout quoi faire. Cela fait plusieurs jours que je réfléchis et je suis complètement perdu..
Si vous pouviez m'aider, je vous en serai très reconnaissant. Les questions posées sont les suivantes :
a^(p-1) congru ) 1[p]
1) Montrer que si p est premier, il est premier avec tous les entiers qui le précède (on raisonnera par l'absurde, que se passerait-il si p n'étais pas premier avec k € ]1,p[ )
2) Montrer que si p est premier avec a et avec b, il est premier avec leur produit ab (on raisonnera par l’absurde : que se passerait-il si p n'étais pas premier avec ab ?)
3) Déduire de 2 et 3 que p est premier avec (p-1)!
4) Montrer que si k € [1;p-1] alors le reste de la division de ka par p est non nul (on raisonnera par l'absurde : que se passerait-il si ce reste était nul?)


Voila, je suis désolé d'avoir à vous demander de l'aide, mais je ne sais vraiment pas par ou commencer.. Merci à tous !

Baptisteo

Bonjour,
Je pense que le 1 est faisable sans passer par l'absurde, mais peut-être que ton prof préfèrerait par souci de rédaction.
Il suffit de dire qu'un nombre premier n'est divisible par aucun nombre qui lui est inférieur, donc il est premier avec tout nombre inférieur n.
Pour le deux, si p est premier avec a et est premier avec b, cela signifie que a ne divise pas p et b ne divise pas p. Par conséquent, ab ne divise pas p.
Pour le trois, (p-1)!=(p-1)*(p-2)*...*2*1 or p est premier et donc aucun des entiers (p-1); (p-2); ... ne le divisent (cf question 1).
D'après la question 2, si p est premier avec tous les nombres qui lui sont inférieurs, alors il est premier avec leur produit.
Je ne vois pas l'utilité de la question 4 qui est une application des questions précédentes. Tu peux ici aussi éviter le raisonnement par l'absurde.

J'espère que tu as mieux compris la méthode de raisonnement exigée.
Maintenant, il faut faire plaisir au prof, donc rédige tout grâce à un raisonnement par l'absurde.

[baptisteo]

Merci beaucoup de vos réponses

Si pour la 4) j'écris ça, est-ce suffisant et correct ? :

4) On raisonne par l’absurde. Si le reste de ka par p est nul, alors p divise k a, or k [1 ; p - 1]
donc p est premier avec k donc d'après le théorème de Gauss, p divise a
Or cela est impossible car p est premier avec a
Le reste de la division de ka par p est donc non nul.

De la même manière, la question 5 nécessite un raisonnement par l'absurde, et j'ai essayé de le faire cette fois par moi même en raisonnant comme vous me l'avez montré. Et voila ou j'en suis arrivé :

5) Montrer que si k' différent de k, avec k et k' dans [1,p-1] alors les restes rk et rk' des divisions de ka et ka' par p sont distincts (on raisonnera encore et toujours par l'absurde : que se passerait-il si on avait rk=rk' ?)
6) En déduire que (p-1)!a^p-1 congrus à (p-1)! [p]

5) Soit k et k' € [1,p-1] et k différent de k'
D'après la question 4) le reste de la division de ka par p est non nul, et le reste de la division de k'a par p est non nul.
Supposons ka congrus rk [p] et k'a congrus rk'[p]
Si rk= rk', alors ka congrus k'a [p] car a est premier
Donc ka-k'a congrus à 0 [p]
Donc (k-k')a congrus à 0[p]
Donc p divise le produit (k-k')a, or p et a sont premier entre eux, donc p divise k-k'
Or -p+1 inférieur à k-k' [TEX] inférieur à p-1
Donc k-k'= 0 seul multiple de p dans [-p+1;p-1] donc k=k'

Donc si rk=rk', k=k', or ici, k' et k sont différents, donc rk et rk' sont distincts


Est ce que c'est bon ?

Pour la 6) je dois en déduire la réponse à partir de ça, mais je ne sais pas quoi mettre. Pouvez vous m'aider ? j'ai réussi la question 7 en admettant la question 6, mais je ne sais pas comment faire la 6

[Jota Be]

Merci beaucoup de vos réponses

Si pour la 4) j'écris ça, est-ce suffisant et correct ? :

4) On raisonne par l’absurde. Si le reste de ka par p est nul, alors p divise k a, or k [1 ; p - 1]
donc p est premier avec k donc d'après le théorème de Gauss, p divise a
Or cela est impossible car p est premier avec a
Le reste de la division de ka par p est donc non nul.

De la même manière, la question 5 nécessite un raisonnement par l'absurde, et j'ai essayé de le faire cette fois par moi même en raisonnant comme vous me l'avez montré. Et voila ou j'en suis arrivé :

5) Montrer que si k' différent de k, avec k et k' dans [1,p-1] alors les restes rk et rk' des divisions de ka et ka' par p sont distincts (on raisonnera encore et toujours par l'absurde : que se passerait-il si on avait rk=rk' ?)
6) En déduire que (p-1)!a^p-1 congrus à (p-1)! [p]

5) Soit k et k' € [1,p-1] et k différent de k'
D'après la question 4) le reste de la division de ka par p est non nul, et le reste de la division de k'a par p est non nul.
Supposons ka congrus rk [p] et k'a congrus rk'[p]
Si rk= rk', alors ka congrus k'a [p] car a est premier
Donc ka-k'a congrus à 0 [p]
Donc (k-k')a congrus à 0[p]
Donc p divise le produit (k-k')a, or p et a sont premier entre eux, donc p divise k-k'
Or -p+1 inférieur à k-k' avec les conditions et , p premier.
De plus, donc finalement .
A la limite, la question précédente ne sert pas trop...