Question d'application

[Dinozzo13]

Bonjour, on me demande de démontrer la proposition suivante :
"Soient et deux parties non vides et bornées de . Montrer que implique et ".
Voici ma question : Peut-on montrer cette proposition en définissant une certaine application et en montrant qu'elle est injective mais pas surjective ?

[Dinozzo13]

On pourrais définir tel que .
donc , non ?

[Skullkid]

Salut, ta question me semble très étrange... D'une part elle est étonnamment précise (tu dis chercher une application injective non surjective, qu'est-ce qui te fait vouloir chercher ça ?) et elle a l'air de sortir un peu de nulle part : a priori, on ne voit pas bien le rapport entre l'injectivité d'une application et les bornes (les bornes sont liées au concept d'ordre, donc si on veut utiliser des applications, ça me semble plus logique de s'intéresser à la monotonie qu'à l'injectivité)... Puis vient ce que tu proposes dans ton deuxième post : où veux-tu en venir ? Bref, y a-t-il une idée derrière ta question ou est-ce que c'est juste random ?

Du point de vue purement mathématique, tu n'as pas le droit de parler de f(B), puisque f n'est pas définie sur tous les éléments de B. De plus, si A et B sont des parties finies de même cardinal, il te sera impossible de trouver une application injective non surjective entre les deux.

[vincentroumezy]

De plus, il existe des démos beaucoup plus directes.

[Dinozzo13]

Salut à vous !

En fait, je cherche une méthode original pour démontrer ma proposition et j'ai pensé à utiliser la notion de fonction injective, mais c'est une idée que je proposais.
Sinon, auriez-vous une méthode originale pour démontrer ma proposion ?

[vincentroumezy]

Qu'est ce que tu entends par "originale", parcque cette propriété, c'est quasiment du cours.

[Dinozzo13]

Qu'est ce que tu entends par "originale", parcque cette propriété, c'est quasiment du cours.

Bien moi je le démontrerai ainsi :
. Or donc et . Par suite, d'après la définition des bornes inférieures et supérieures, il vient :
.

Mais j'aimerai savoir si on peut le montrer d'une autre manière.

[vincentroumezy]

Je ne pense pas que ça marche.
Pourquoi inf(A)<=x et inf(B)<=x implique t'il inf(A)<=inf(B) ?

[Dinozzo13]

Parce que A est inclus dans B.

[vincentroumezy]

Mais justement, le fait que A inclus dans B implique gnagnagna c'est ce que tu dois démontrer, et tu l'utilises dans ta démonstration.

[Skullkid]

Ce que veut dire Dinozzo13 (à mon avis) c'est que puisque pour tout x de A, inf B <= x <= sup B, ça veut dire que inf B est un minorant de A, donc que inf B <= inf A (idem pour le sup), ce qui est la démonstration "canonique".

C'est bien de chercher des moyens originaux de démontrer les propositions que tu connais, mais faut qu'il y ait une démarche derrière (et de préférence s'attaquer à des propositions un peu plus compliquées que celle-ci qui est évidente) : là on a l'impression que tu prends une proposition au hasard puis un concept au hasard (ici, celui de fonction injective), ça ne te mènera à rien. C'est un peu comme si tu voulais démontrer l'inégalité ln(1+x) <= x en utilisant une application linéaire sur R² : on voit pas bien le rapport...

[Dinozzo13]

Ben alors comment le justifierai-tu ?
C'est déjà assez évident que .
Alors, je ne vois pas comment le prouver plus précisément.

[Dinozzo13]

Ce que veut dire Dinozzo13 (à mon avis) c'est que puisque pour tout x de A, inf B <= x <= sup B, ça veut dire que inf B est un minorant de A, donc que inf B <= inf A (idem pour le sup), ce qui est la démonstration "canonique".

C'est bien de chercher des moyens originaux de démontrer les propositions que tu connais, mais faut qu'il y ait une démarche derrière (et de préférence s'attaquer à des propositions un peu plus compliquées que celle-ci qui est évidente) : là on a l'impression que tu prends une proposition au hasard puis un concept au hasard (ici, celui de fonction injective), ça ne te mènera à rien. C'est un peu comme si tu voulais démontrer l'inégalité ln(1+x) <= x en utilisant une application linéaire sur R² : on voit pas bien le rapport...

Oui voilà ! \inf B est un minorant de A.
Ok, nam ce n'était pas du hasard. J'ai confondu en fait les bornes avec les cardinaux !!!

[Dinozzo13]

Sinon Skullkid, n'aurais-tu pas une autre idée pour démontrer cela ?

[vincentroumezy]

Ce que veut dire Dinozzo13 (à mon avis)c'est que puisque pour tout xde A, inf B <= x <= sup B, ça veut dire que inf B est un minorantde A, donc que inf B <= inf A (idem pour le sup), ce qui est la démonstration "canonique".

Dans ce cas,c'est ok :lol3:

[Skullkid]

Tu peux toujours t'amuser à le démontrer par l'absurde, mais personnellement je trouve pas ça plus intéressant...