Intégration

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice en math mais je suis bloqué, pourriez vous me donner quelques indices?

Voici l'énoncé:
1) Soient u et v continues sur [a;b], v de signe constant , montrer qu'il existe k appartient à [a;b] tel que
intégrale de a à b (u(x)*v(x) dx) = u(k)* intégral de a à b (v(x) dx)
j'ai réussi ctte question

2)Soit g continue sur [a;b] et f continuement dérivable sur ce même intervalle de telle que f' soit de signe constant. Soit G primitive de g sur [a;b], montrer qu'il existe k appartient à [a;b] tel que:

integral de a à b (f(x)*g(x) dx = G(b)*f(b) - G(k)[f(b)-f(a)]

en déduire

integ de a à b (f(x)*g(x) dx) = f(b)*integ de a à b(g(t)dt +f(a)*integ de a à b g(t)dt

Merci d'avance

[Maxmau]

Bj
" en déduire

integ de a à b (f(x)*g(x) dx) = f(b)*integ de a à b(g(t)dt +f(a)*integ de a à b g(t)dt "

Je pense qu'il y a une erreur ds cet énoncé: ça doit être au deuxième membre:

f(b)*integ de k à b(g(t)dt +f(a)*integ de a à k g(t)dt

[mj4]

Oui j'ai fait une erreur excusez moi

[Maxmau]

Bonjour, j'ai un exercice en math mais je suis bloqué, pourriez vous me donner quelques indices?

Voici l'énoncé:
1) Soient u et v continues sur [a;b], v de signe constant , montrer qu'il existe k appartient à [a;b] tel que
intégrale de a à b (u(x)*v(x) dx) = u(k)* intégral de a à b (v(x) dx)
j'ai réussi ctte question

2)Soit g continue sur [a;b] et f continuement dérivable sur ce même intervalle de telle que f' soit de signe constant. Soit G primitive de g sur [a;b], montrer qu'il existe k appartient à [a;b] tel que:

integral de a à b (f(x)*g(x) dx = G(b)*f(b) - G(k)[f(b)-f(a)]

en déduire

integ de a à b (f(x)*g(x) dx) = f(b)*integ de a à b(g(t)dt +f(a)*integ de a à b g(t)dt

Merci d'avance

question2: intégrer Int(fg) par parties sur (a,b)
puis appliquer la question 1 à Int(Gf')
Attention: G est le primitive de g nulle en a
Pour terminer remplacer G(b) et G(k) par leurs expressions intégrales.

[mj4]

Oui merci beaucoup, j'y avais penser mais je n'avais pas remarquer que G s'annulait en a

[mj4]

J'ai réussi à en déduire l'autre formule, ensuite on me demande:

3) a étant un réel strictement positif démontrer :
(1/a) arctan(1/a) = limite en + infin de 2*somme de k=0 à n de ((2n+1)/ [ (2n+1)^2 .a^2 +4*k^2 ])

Merci d'avance

[Maxmau]

J'ai réussi à en déduire l'autre formule, ensuite on me demande:

3) a étant un réel strictement positif démontrer :
(1/a) arctan(1/a) = limite en + infin de 2*somme de k=0 à n de ((2n+1)/ [ (2n+1)^2 .a^2 +4*k^2 ])

Merci d'avance

Essaie de voir si la somme est une somme de Riemann d'une certaine fonction

[Maxmau]

J'ai réussi à en déduire l'autre formule, ensuite on me demande:

3) a étant un réel strictement positif démontrer :
(1/a) arctan(1/a) = limite en + infin de 2*somme de k=0 à n de ((2n+1)/ [ (2n+1)^2 .a^2 +4*k^2 ])

Merci d'avance

Un petit coup de pouce:
Sn la somme de l’énoncé
En posant f(t) = 1/(a²+t²) on a: (en mettant à part le premier terme de la somme)
Sn = f(o)/(2n+1) + (1/(2n+1)).Somme(k=1 à k=n de f(2k/(2n+1))
Comme (k-1)/n < 2k/(2n+1) <k/n on peut conclure que:
(1/n).Somme(k=1 à k=n de f(2k/(2n+1)) est une somme de Riemann de la fonction f associée au partage de l’intervalle (0,1) en n intervalles égaux.