Decomposition de fraction en element simple (suite)

[francknvs]

bonjour à tous,
toujours dans la décomposition de fraction en élément simple,je derive....

2 exercices à vous proposer:

I/
1/((x²)(1-x))

II/
x/((x²+2)(x²+1))

pour le premier j'ai ainsi decompososé de la maniere suivante:

1/((x²)(1-x))= (a/x)+(b/x²)+(c/(1-x))

en mettant sous le meme denominateur
1 = ax(1-x)+b(1-x+cx²)
0 = ax(1-x)+b(1-x+cx²)-1
0 =-ax²+cx²+ax-bx+b-1
0 = x²(c-a)+x(a-b)+b-1
puis par identification

c-a=0
a-b=0
b-1=0
b=1
a=1
c=1

au final:
1/((x²)(1-x))=(1/x)+(1/x²)+1/(1-x)

est ce exact?

pour le II/, je bloque

merci pour votre aide

[Monsieur23]

Aloha,

Pour le premier, remet tout au même dénominateur, tu verras si c'est bon…

Pour le second, il faut que tu cherche sous la forme

[francknvs]

j'ai essayé ainsi (dsl, je ne sais pas comment mettre sous fraction)

en multipliant l'égalité par (x^2+2)(x^2+1) et en identifiant les coefficients du polynôme obtenu à gauche et de celui à droite pour trouver aussi 4 équations en A,B,C et D...

j'ai donc essayé cette methode et je trouve:

[(x)*(x^2+2)(x^2+1)]/[(x^2+2)(x^2+1)]=[(ax+b)*(x^2+2)(x^2+1)]/[(x^2+2)] + [(cx+d)*(x^2+2)(x^2+1)]/[(x^2+1)]

en simplifiant:

(x)=[(ax+b)*(x^2+1)] + [ (cx+d)*(x^2+2)]
(x)=ax^3+ax+bx^2+b + cx^3+2cx+dx^2+2d

je groupe chaque terme du meme degre
(x)=ax^3+cx^3 +bx^2+dx^2 +2cx+ax +b+2d
(x)=x^3(a+c) + x^2(b+d) + x(2c+a) +(b+2d)

c'est ici que je bloque... :mur:
puis je dire que:
(x)=x^3(a+c)==> (a+c)=(x)/(x^3)==> (a+c)=(1)/(x^2)
(x)=x^2(b+d)==> (b+d)=(x)/(x^2)==> (b+d)=(1)/(x)
(x)=x(2c+a)==> (2c+a)=(x)/(x)==> (2c+a)=1
(x)=(b+2d)

merci

[francknvs]

je groupe chaque terme du même degré
x=ax^3+cx^3 +bx^2+dx^2 +2cx+ax +b+2d
x=x^3(a+c) +x^2(b+d)+ x(2c+a) +(b+2d)

voir le polynôme x à gauche comme 0\times x^3 + 0 \times x^2 + 1 \times x +0.

Pour l'identification,j'utilises le théorème qui dit, si deux polynômes a_nx^n+...+a_1x+a_0 et b_nx^n+...+b_1x+b_0 sont égaux, alors a_i=b_i pour tout i=0,...,n

Donc, dans ce cas, j'obtiens les identifications suivantes:

0=A+C (les coeff devant x^3)
0=B+D (les coeff devant x^2)
1=2C+A (les coeff devant x)
0=B+2D (les coeff devant x^0=1 - les constantes)

a+c=0 *(-1)==> -a-c=0
a+2c=1 ==> +a+2c=1
==>c=1
b+d=0 *(-1)==>-b-d=0
b+2d=0==>b+2d=0
==>d=0
et donc:
==>a=-1
==>b=0

au final puis je dire et mettre sous cette forme?



cad:


soit:


par avance merci,