Problème de rang

par **Pistolero** » 31 Mai 2006, 18:19

Voila je prépare mes oraux et je sèche sur cette question et je ne sais pas d'où partir :
Soit A une matrice carrée n a coeffs réels tq A^3=-A. Montrer que A est de rang pair.
Si vous pouviez au moins me donner une piste de départ se serait sympa!
Merci

par **abcd22** » 31 Mai 2006, 18:47

Bonsoir !
Tu peux chercher si A est diagonalisable sur C, quelles sont les valeurs propres possibles...

par **Pistolero** » 31 Mai 2006, 22:32

Mais je peux diagonaliser dans C alorsque la matrice est a coefficients réels??

par **abcd22** » 31 Mai 2006, 22:35

Oui, une matrice à coefficients réels peut être vue comme une matrice complexe.

par **Pistolero** » 31 Mai 2006, 22:45

J'ai essayé de diagonaliser mais la matrice étant a n lignes n colonnes je ne vois vraiment pas comment on peut en deduire que le rang est pair :triste:

par **abcd22** » 31 Mai 2006, 23:13

Tout ce qu'on sait sur la matrice, c'est que le polynôme P = X³ + X est annulateur. Or X³ + X = X(X+i)(X-i) est scindé à racines simples dans

, donc A est

-diagonalisable, et ses valeurs propres sont parmi les racines de P. Le rang de A est égal au nombre de valeurs propres non nulles, que peut-on dire de ces valeurs propres sachant que A est réelle (donc son polynôme caractéristique aussi, et le polynôme caractéristique calculé sur

est le même que celui calculé sur

) ?

par **Pistolero** » 31 Mai 2006, 23:24

Oui d'accord je vois :zen: merci beaucoup!

par **dion_sandra** » 02 Juin 2006, 16:36

tu peux associer la matrice A à un endomorphisme f, puis exprimer le fait que A^3 =-A en utilisant la relation qui relie le espace des matrices avec celui des endo ; je pense que ça peut aider à trouver qqelque propriétée que f vérifie; et puis essaie de travailler en s'appuiant sur le des endom

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