Intersection plan et ellipsoide

[libertad]

Bonjour,

J'ai lu sur beaucoup de différents sites / livres que l'intersection entre un ellipsoïde et un plan est toujours une ellipse, une point ou l'ensemble vide.

Ma question est : comment le démontrer ?

J'ai vu sur le net différentes démonstrations incluant un changement de repère. Mais, comme ce repère a la même origine que le repère de départ, cela signifie que le plan considéré passe par l'origine. Comme faire pour extrapoler à n'importe quel plan ?

[el niala]

analytiquement, tu as intérêt à prendre le repère assurant la symétrie de l'ellipsoïde

(1)

dans ce repère, tout plan peut s'écrire

tu en tire en fonction de et et tu reportes dans (1)

tu développes en et pour revenir à une forme classique de conique


et tu montres que qui assure que c'est une ellipse

si l'ellipsoïde est de révolution, tu peux retrouver un cercle

[Dlzlogic]

On pourrait dire aussi qu'une ellipsoïde est une conique. L'intersection d'une conique et d'un plan est une conique. Comme cette intersection ne peut pas avoir de direction asymptotique, ça ne peut être qu'une ellipse, le cercle étant un cas particulier.
Mais je suis pas sûr de ma démo.

[Maxmau]

Bj
voici une preuve intrinsèque (qui n'utilise pas de repère)
J'adopte les définitions suivantes:
Dans un plan affine réel, une ellipse de centre O est une courbe dont l'équation est de la forme
q(OM) = k où q est une forme quadratique définie positive et k une constante > 0
(OM = vecteur OM)
Dans un espace affine réel de dimension 3, un ellipsoide de centre O est une surface dont l'équation est de la forme q(OM) = k où q est une forme quadratique définie positive et k une constante > 0

Soit donc un ellipsoide (S) de centre O d'équation q(OM) = k et un plan (P). Je note (C) la courbe d'intersection et b la forme bilinéaire symétrique associée à q.
La droite passant par O et b-orthogonale au plan (P) coupe ce plan (P)en U.
q(OM) = q(OU+UM) = b(OU+UM,OU+UM)=q(OU)+q(UM)+2b(OU,UM)
M est sur (C) ss q(OM) = k et M sur (P)
M est sur (P) ss b(OU,UM) = 0
finalement: M est sur (C) ss q(UM) = k - q(OU) et M sur (P)
conclusion: (C) est une ellipse (éventuellement réduite à un point) ou l'ensemble vide

[libertad]

J'ai utilisé ta méthode el niala (mes cours sur les coniques datent un peu et j'avais oublié cette forme).

Donc,

Soit l'ellipsoide (E) d'équation (1)
Soit le plan (P) d'équation (2)

Les points formant l'intersection entre (E) et (P) appartiennent à ces deux courbes donc leurs coordonnées vérifient les deux équations.

A partir de (2), en supposant , on a


En remplaçant cette dernière dans (1), on a




Cette équation est l'équation cartésienne d'une conique de discriminant





Comme on a supposé que est diiférent de zéro et que a, b et c le sont aussi, le premier terme n'est pas nul. Le deuxième terme est également différent de zéro car et .

Donc , et ,

Supposons maintenant que , et
(2) devient


et (1) devient




Supposons que , et
alors et (P) est l'ensemble vide. Comme toute intersection avec un ensemble vide est l'ensemble vide, l'intersection entre (P) et (E) est dans ce cas vide.

On peut ainsi en conclure que toute intersection entre un ellipsoide et un plan, est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

Tout est ok ?

[libertad]

tu développes en et pour revenir à une forme classique de conique


et tu montres que qui assure que c'est une ellipse

si l'ellipsoïde est de révolution, tu peux retrouver un cercle

Je viens de relire un cours et il semble que la forme soit et le discriminant donc sans les 2. C'est ce que j'ai utilisé dans mon post précédent car je n'arrivais pas à m'en sortir avec ces 2.

En tout cas, merci de l'indication :lol3: