Systèmes différentiels
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Tqup3
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par Tqup3 » 28 Mai 2006, 21:54
Voilà je usis en train de réviser les systèmes différentiels et je me demande comment on peut en résoudre un si la matrice A que l'on pose au départ n'est pas diagonalisable...
S'il y a un moyen de le résoudre, quelqu'un pourrait-il m'indiquer clairement la méthode ?
Merci d'avance
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Zebulon
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par Zebulon » 29 Mai 2006, 05:09
Bonjour Tqup!
A peut ne pas être diagonalisable, elle est toujours trigonalisable. Il existe donc P inversible et T triangulaire supérieure telles que
. On reprend le même calcul que lorsque A est diagonalisable mais en remplaçant D par T, ce qui donne :
où
On résout le système en partant de la dernière équation.
A bientôt!
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Tqup3
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par Tqup3 » 29 Mai 2006, 14:59
Ah ouais je n'y avait pas pensé à la trigonaliser, c'est vrai qu'une fois le prof l'a fait il me semble mais je ne me rappelle plus de la méthode (je confonds où ca a un rapport avec la jordanisation ?)
Merci de m'éclairer, les matrices sont ma bête noire ^^
ps: Google ne me donne pas de résultat convainquant...
Amicalement,
Tqup3
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Tqup3
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par Tqup3 » 30 Mai 2006, 22:56
Bonjou,
J'ai une autre question, lorsque A n'est pas diagonalisable.
Pour trouver la matrice P, il nous manque un vecteur et j'ai pas compris comment on faisait pour trouver le troisième.
Merci de votre aide,
Tqup3
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Zebulon
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par Zebulon » 31 Mai 2006, 09:32
Allez, je me lance pour recopier un exemple de mon bouquin (en espérant qu'on n'ait pas le même!).
Résoudre d'inconnues x, y et z.
Notons
. On calcule le polynôme caractéristique
de A, et on obtient
donc les valeurs propres de A sont -2 (simple) et 4 (double). On calcule les sous-espaces propres. Le sous-espace propre associé à -4 est de dimension 1, engendré par
. Le sous-espace propre associé à -2 est engendré par
. Donc A n'est pas diagonalisable.
Déterminons un vecteur
et un réel
tels que :
.
donc on peut choisir
et
.
Ainsi
avec
et
.
En notant
et
, on a :
.
On résout en commençant par la dernière ligne :
,
, et
avec A, B et C appartenant à
.
Puis X=PY d'où :
Compris?
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Tqup3
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par Tqup3 » 31 Mai 2006, 15:43
Merci zébulon d'avoir pris un peu de temps pour m'expliquer, j'ai compris mais il y a un truc que je comprends pas tout de même : la mtrice T est composée dans sa diagonale des valeurs propres de A mais je ne comprends pas d'où sort le 2 en première ligne seconde colonne.
Merci pour toute l'aide que vous m'apportez et pardon pour mon ignorance :)
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Zebulon
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par Zebulon » 31 Mai 2006, 16:40
C'est parce qu'on a
et
.
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