Polynomes

[Mulan]

Bonjour à tous !!!

Je bloque sur cet exo :

Soit E =R_4[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à 4 à coefficient dans R.
Soit F = { P dans E tel que P(3) = 2 et P'(3) = 1

Montrer que F est un sous espace affine de E et quelle en est sa direction et sa dimension.

Alors je sais juste que X - 1 appartient à F car il verifie les conditions de F mais apres je bloque car je veux trouver que F = X - 1 +quelque chose.

[Le_chat]

Tu prends P dans F. Que doit verifier P-X+1?

[Mulan]

Tu prends P dans F. Que doit verifier P-X+1?

Bein il doit verifier que :

P(3) = 2 et P'(3) = 1

[Le_chat]

Hum, oui P doit vérifier ça.

Mais si je dis que Q=P-X+1, alors que vérifie Q?

Tu dois en fait montrer que l'ensemble F'={Q tels que Q-(X-1) est dans F} est un sous espace vectoriel.

[Mulan]

Euh je ne comprend pas pourquoi je dois montrer que c'est un sous espace vectoriel car on me demande de montrer que F est un sous espace affine ?

[Le_chat]

On ne va pas montrer que F est un sous espace vectoriel, mais que """"""F-(X-1)""""""l'est.

[Mulan]

On ne va pas montrer que F est un sous espace vectoriel, mais que """"""F-(X-1)""""""l'est.

D'accord mais le fait de montrer que F - x+ 1 est un sous espace vectoriel de R^3 entraine donc que F est un sous espace affine ?

[Le_chat]

Qu'est-ce qu'un sous espace affine?

[Mulan]

Qu'est-ce qu'un sous espace affine?

On appelle sous-espace affine passant a;)E et dirigé par F sous-espace vectoriel E l'ensemble

V=a+F={a+x/x;)F}

Donc je suis d'accord il faut montrer que F - P soit un sous espace vectoriel

-> Du coup il faut montrer la stabilité et que l'élément neutre appartient ce qui est evident.

Par contre la direction est R^3 mais comment trouver la dimension de F ?

[Le_chat]

Nan la direction c'est pas R3[X] (un sous espace affine de direction l'espace entier c'est l'espace entier), la direction c'est F' qui est l'ensemble des polynomes Q tels que Q-(X-1) soit dans F, c'est à dire l'ensemble des polynomes tels que Q(3)=... et Q'(3)=...


Pour la dimension, c'est la dimension de F' que tu cherches.

[Mulan]

Nan la direction c'est pas R3[X] (un sous espace affine de direction l'espace entier c'est l'espace entier), la direction c'est F' qui est l'ensemble des polynomes Q tels que Q-(X-1) soit dans F, c'est à dire l'ensemble des polynomes tels que Q(3)=... et Q'(3)=...


Pour la dimension, c'est la dimension de F' que tu cherches.

Tels que Q(3) = 0 et Q'(3) = 0

[Le_chat]

Oui. Donc en fait tu viens de montrer que F=(X-1)+F' où F'={Q, tels que Q(3)=0 et Q'(3)=0}.

Tu n'as plus qu'à verifier que F' est un sous espace vectoriel, et à trouver sa dimension.

Concernant la dimension, tu n'en as que 4 possibles vu que tu es dans R3[X].

La dimension 4 est exclue, car tous les polynômes ne sont pas dans F'.

Reste à trancher entre 1, 2 et 3.

[Mulan]

Comment peut on trancher entre les 3 dimensions ?

[Le_chat]

Ben par exemple, tu peux remarquer que la famille de polynome (1,X-3,(X-3)^2,(X-3)^3) est une base de R3[X], et essayer de trouver une condition sur les coordonnées d'un polynome dans cette base pour qu'il soit dans F'.

[fal]

attention espace affine veut dire espace de dimension 2
c est le cours!!


E =R_4[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à 4 à coefficient dans R
la base canonique de E EST (1 , X ,X² ,X3 ,X4)

Soit F = { P dans E tel que P(3) = 2 et P'(3) = 1

Montrer que F est un sous espace affine de E et quelle en est sa direction et sa dimension? cette question ambigue!!
pour montrer que (E,+,*) est un ss espace vect de E IL FAUT MONTRER
-E EST NON VIDE
-(E,+) est un groupe commutatif
-E EST STABLE PAR la multiplication externe
- la multiplication externe EST COMMUTATIVE ET DISTRIBUTIVTIVE SUR E
IL RESTE ENFIN DE TROUVER UNE BASE DE F

[Le_chat]

attention espace affine veut dire espace de dimension 2
c est le cours!!

J'ai des doutes...