Valeur absolue

[christ74]

Bonjour à tous.
J'ai besoin d'aide pour résoudre l'équation suivante:

|x² - 1| = 2x - 1

J'ai procédé de la manière : si |a| = b alors a = b ou a = -b

J'ai eu alors 4 solutions: 0; 2; ;)3 - 1; et -;)3 - 1

En vérifiant les solutions (remplaçant x par chacune des valeurs), j'ai remarqué que les valeurs 0 et -;)3 - 1 ne verifient pas l'équation:

|0² - 1| = 2 x 0 - 1
|-1| = 0 - 1
1 = -1 FAUX

|2² - 1| - 1 = 2 x 2 - 1
|4 - 1| = 4 - 1
|3| = 3 VRAI


|(;)3 - 1)² - 1| = 2 (;)3 - 1) - 1
|3 - 2;)3 + 1 - 1| = 2;)3 - 2 - 1
|3 - 2;)3| = 2;)3 - 3 VRAI car 3 - 2;)3 < 0

|(-;)3 - 1)² - 1| = 2 (-;)3 - 1) - 1
|(;)3 + 1)² - 1| = -2;)3 - 2 - 1
|3 + 2;)3 + 1 - 1| = -2;)3 - 3
|3 + 2;)3| = -2;)3 - 3 FAUX car 3 + 2;)3 > 0


Donc les valeurs 2 et ;)3 - 1 seulement vérifient l'équation.
Comment dois-je procéder pour avoir ses 2 solutions (ou autres solutions peut-être) ?

Merci beaucoup d'avance.

[Sylviel]

Exactement comme tu as fait.

[christ74]

Exactement comme tu as fait.

Merci pour votre réponse.
J'ecris les vérifications pour prouver que 0 et -;)3 - 1 ne sont pas des solutions?

Peut-etre qu'il y a d'autres solutions que 2 et 3 -1 ...

[Sylviel]

Non il n'y a pas d'autres solution. Je redonnes l'ossature de ton raisonnment :
si : |a|=b
alors a=b ou -a=b (il n'y a pas d'équivalence mais une implication)
a=b a pour solution x1 et x2
-a = b a pour solution x3 et x4

donc les solutions de |a|=b sont dans {x1,x2,x3x4}. On vérifie ensuite chacune d'elle.

P.S : ce type de raisonnement est un peu subtil, et nouveau pour toi. Ca vaut le coup d'y réfléchir un peu :lol3:

[christ74]

Je pensais qu'il fallait faire un tableau de signes, ou bien procéder d'une autre manière plus récurrante, parce que, pour mon professeur, vérifier les solutions obtenues est "inacceptable", "à ne pas faire" :hum:

Merci quand meme pour votre aide Sylviel :we:

[Sylviel]

Vérifier les solutions obtenues est inacceptable ?!? :ptdr:
Dis lui de retourner travailler ses maths... Si tu veux un exemple
(qu'il devrait pouvoir comprendre) où c'est indispensable : les conditions
du premier ordre d'un problème d'optimisation.

[christ74]

J'ai abouti à une methode très logique, permettant de refuter les 2 solutions inacceptables:

On a |x² - 1| = 2x - 1

On sait que la valeur absolue d'un nombre est toujours positive. Par suite:
|x² - 1| > 0

Or |x² - 1| = 2x - 1

Alors
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2

C'est la condition qui permet de verifier l'équation. Par suite: puisque 0 < 1/2 et -;)3 - 1 < 1/2

Alors ses 2 solutions sont à refuter...

[Lostounet]

Les équations avec radicaux nécessitent un raisonnement analogue...


Saurais-tu résoudre:

?