Petite question sur Suite

[Alice1S]

Bonjour,

Dans un exo je dois montrer que la suite (Un) définie par U0=1/2 et Un+1= (8Un+3)/(Un+6) est croissante. Je sais juste que 1Quelle méthode dois-je utiliser : récurrence, montrer que Un+1>>Un ou comparer Un+1/Un à 1 ?
Merci d'avance.

[Peacekeeper]

Bonjour,

Dans un exo je dois montrer que la suite (Un) définie par U0=1/2 et Un+1= (8Un+3)/(Un+6) est croissante. Je sais juste que 1>Un ou comparer Un+1/Un à 1 ?
Merci d'avance.

Généralement, ce genre de question ne se résout pas avec une récurrence, mais avec l'une des 2 méthodes que tu suggères. Il se peut d'ailleurs que les 2 marchent mais il est souvent plus facile de montrer que Un+1>Un. Good luck!

[Alice1S]

Généralement, ce genre de question ne se résout pas avec une récurrence, mais avec l'une des 2 méthodes que tu suggères. Il se peut d'ailleurs que les 2 marchent mais il est souvent plus facile de montrer que Un+1>Un. Good luck!

D'accord, merci bien.

[didou31]

Pour le choix de la méthode, fie-toi à ton intuition. Si tu vois que ton intuition n'a pas abouti à la résolution du problème. Essaie une autre méthode. Mais faire confiance à son intuition avant d'abandonner, c'est important.

Pour ce problème, tu évoques plusieurs méthodes. Quelle méthode te semble la plus adaptée pour arriver rapidemment à la solution compte tenu de l'expression de la suite ? C'est peut-être celle qui consiste à étudier le quotient. On peut se dire, légitimement, l'expression de la suite est faite de divisions, si j'applique cette méthode de l'étude du quotient, ma fois, il se peut qu'il y ait des simplifications telles que je pourrais conclure ou je serais en meilleur posture pour conclure en tout cas.

Si Un et Un+1 sont toujours positifs, tu peux tenter cette méthode (Un+1/Un > 1 ?) pour commencer. Peut-être que tu ne vas pas pouvoir conclure immédiatement. Il se peut que tu vas arriver à un résultat dont la supériorité ou son infériorité par rapport à 1 dépendra de Un-1 et/ou Un-2. Cela va t'amener sans doute à faire une conjecture raisonnable et t'amener à vérifier par récurrence cette conjecture.

La méthode Un+1 - Un > 0 ? peut être toute aussi fructueuse.

Et même carrément une démonstration par récurrence direct sur Un+1 > Un peut amener au résultat.

Peut-être que les trois peuvent te permettre de conclure, peut-être qu'une seule ... qui sait. Il faut essayer. C'est ça aussi les mathématiques.