La matrice est elle diagonalisable ?
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Kalou94
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par Kalou94 » 20 Jan 2012, 01:25
Rebonjour,
J'essaye de prouver qu'une matrice est diagonalisable, j'ai trouvé les deux valeurs propres de la matrice qui sont -2 et 4 avec m(-2) = 2 et m(4) = 1.
Voici la matrice A :
(-1 2 1)
(2 2 2)
(1 2 -1)
Je calcule donc Ker(A + 2I), ce qui me donne :
(1 2 1)
(2 4 2)
(1 2 1)
d'où je tire un système avec une seule équation :
x + 2y + z = 0
J'avais pour habitude de tomber sur un système a trois équations, me permettant de calculer les vec possibles, mais je me retrouve avec une seule équation. Est ce que les vect comme (1 -1 1) ou (1 0 -1) sont justes ? Ou la matrice n'est pas diagonalisable ?
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speaker38
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par speaker38 » 20 Jan 2012, 10:55
salut,
la matrice n'est pas diagonalisable car votre équation représente un plan. Donc dimension de l'espace propre = 2 qui est différent de la multiplicité des valeurs propres (1).
Pour trouver les 2 vecteurs propres de la matrice de passage vous devez resoudre :
1) L'équation que vous avez obtenu pour calculer la dimension de l'espace avec la valeur propre -2
2) L'équation obtenu pour calculer la dimension de l'espace propre avec l'autre valeur propre.
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Mathusalem
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par Mathusalem » 20 Jan 2012, 11:32
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speaker38
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par speaker38 » 20 Jan 2012, 12:19
Ah oui en effet elle est diagonalisable!
Je pensais que la multiplicité de la vp -2 était de 1. Mais en fait c'est une valeur propre double, donc oui ca marche :)
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Kalou94
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par Kalou94 » 20 Jan 2012, 16:31
Comment trouvez vous les sous espaces vectoriels (-1,0,1) et (-2,1,0) ? Quelle est la méthode pour les trouver ? (Et comment être sûr qu'il n'y en a uniquement deux différent et pas trois ?)
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Mathusalem
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par Mathusalem » 20 Jan 2012, 19:38
Kalou94 a écrit:Comment trouvez vous les sous espaces vectoriels (-1,0,1) et (-2,1,0) ? Quelle est la méthode pour les trouver ? (Et comment être sûr qu'il n'y en a uniquement deux différent et pas trois ?)
Tu as l'équation cartésienne d'un plan donné par
x + 2y + z = 0
Est-ce que tu sais pourquoi c'est un plan ?
De combien de vecteurs a-t-on besoin pour décrire un plan ?
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