La matrice est elle diagonalisable ?

[Kalou94]

Rebonjour,

J'essaye de prouver qu'une matrice est diagonalisable, j'ai trouvé les deux valeurs propres de la matrice qui sont -2 et 4 avec m(-2) = 2 et m(4) = 1.
Voici la matrice A :

(-1 2 1)
(2 2 2)
(1 2 -1)

Je calcule donc Ker(A + 2I), ce qui me donne :

(1 2 1)
(2 4 2)
(1 2 1)

d'où je tire un système avec une seule équation :

x + 2y + z = 0

J'avais pour habitude de tomber sur un système a trois équations, me permettant de calculer les vec possibles, mais je me retrouve avec une seule équation. Est ce que les vect comme (1 -1 1) ou (1 0 -1) sont justes ? Ou la matrice n'est pas diagonalisable ?

[speaker38]

salut,

la matrice n'est pas diagonalisable car votre équation représente un plan. Donc dimension de l'espace propre = 2 qui est différent de la multiplicité des valeurs propres (1).

Pour trouver les 2 vecteurs propres de la matrice de passage vous devez resoudre :
1) L'équation que vous avez obtenu pour calculer la dimension de l'espace avec la valeur propre -2
2) L'équation obtenu pour calculer la dimension de l'espace propre avec l'autre valeur propre.

[Mathusalem]

Moi il me semble que c'est possible de la diagonaliser.






C'est bien de tomber sur l'équation d'un plan pour la valeur propre (-2) puisqu'elle a une multiplicité 2. Ça veut dire qu'il y a deux directions distinctes (ici en particulier la irection (-1,0,1) et (-2,1,0)) qui sont multipliées par -2 (val.prop de mult. 2) par l'application. Ça t'assure que tu peux passer ta matrice en représentation diagonale en utilisant comme base ces vecteurs propres.

[speaker38]

Ah oui en effet elle est diagonalisable!
Je pensais que la multiplicité de la vp -2 était de 1. Mais en fait c'est une valeur propre double, donc oui ca marche :)

[Kalou94]

Comment trouvez vous les sous espaces vectoriels (-1,0,1) et (-2,1,0) ? Quelle est la méthode pour les trouver ? (Et comment être sûr qu'il n'y en a uniquement deux différent et pas trois ?)

[Mathusalem]

Comment trouvez vous les sous espaces vectoriels (-1,0,1) et (-2,1,0) ? Quelle est la méthode pour les trouver ? (Et comment être sûr qu'il n'y en a uniquement deux différent et pas trois ?)

Tu as l'équation cartésienne d'un plan donné par

x + 2y + z = 0

Est-ce que tu sais pourquoi c'est un plan ?
De combien de vecteurs a-t-on besoin pour décrire un plan ?