Polynome mininale d'une matrice

par **Kalou94** » 19 Jan 2012, 23:39

Bonjour à vous,

Nous sommes trois étudiants en révisions de partiels et il s'avère que nous bloquons sur un exercice sur les matrices avec la notion de polynome minimale (sur le premier exercice):

http://mastercorp.epita.info/a1/annales/algebre.lineaire/Promotion-2012-S1-ALIN-Algebre.Lineaire.jpg

Nous avons calculé A^3 et A² pour pouvoir trouver une équivalence entre A^3 + A² + A + I = 0.

Nous avons trouvé deux solutions (ce qui nous perturbe un peu ^^).

J'ai trouvé X^3 - 12X + 16 = 0
et X^3 - 6X² + 32 = 0

D'après mon cours, j'ai cru comprendre qu'il ne pouvait y avoir qu'un seul polynôme minimal, que faire dans ce cas ?

Merci d'avance,
Kalou.

par **Joker62** » 20 Jan 2012, 01:07

Hello !

As-tu trouvé le polynôme caractéristique ? (Logiquement oui vu que tu as fait la question 1))

par **Kalou94** » 20 Jan 2012, 01:15

Oui le polynome est (X + 2)² (X - 4).

(On a lambda à la place de X).

par **Maxmau** » 20 Jan 2012, 11:56

Bj
Toute vp (ici: -2 et 4) est racine de tout annulateur (en particulier du minimal) et le minimal divise le caractéristique. Quelle sont donc les valeurs possibles du minimal ??
Ensuite tu vérifies laquelle de ces valeurs est un annulateur.

par **Kalou94** » 20 Jan 2012, 16:10

Mais je ne sais pas quelle sont les valeurs possibles du minimal (je ne sais même pas quel polynome minimal est le bon :/). Pouvez vous m'eclaircir ?

par **Maxmau** » 20 Jan 2012, 17:11

Kalou94 a écrit:Mais je ne sais pas quelle sont les valeurs possibles du minimal (je ne sais même pas quel polynome minimal est le bon :/). Pouvez vous m'eclaircir ?

Les vp 4 et -2 sont racines du minimal (puisque toute vp est racine du minimal) donc le minimal est divisible par (X+2)(X-4). D'autre part il divise le caractéristique (X+2)²(X-4) donc le minimal est soit (X+2)(X-4) soit (X+2)²(X-4). on vérifie que (X+2)(X-4) est un annulateur de la matrice A ((A+2I)(A-4I)=0). Donc le minimal est (X+2)(X-4)

Autre méthode: dans la suite I , A , A² , ....on cherche la première matrice combinaison linéaire des précédentes. On trouve ici: A² = 2A+8I cad A²-2A-8I = 0 donc X²-2X-8 est le minimal

par **Kalou94** » 20 Jan 2012, 18:29

Merci Maxmau ! C'est beaucoup plus clair ^^

Polynome mininale d'une matrice

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