Résolution d'équation exponentielle

[MathNoob]

Bonjour à tous,

Pour commencer je tiens déjà à m'excuser si ce sujet ne se trouve pas dans le bon forum concernant la difficulté du problème. Ca fait un moment que j'ai quitté les bancs d'école donc je ne sais plus très bien c'est du niveau lycée. Je pense que c'est le cas quand même (exponentielles, logarithmes..).

La réprésentation visuelle de mon problème est consultable sur une feuille de calcul éditable, à cette adresse :
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AiLgphtsXoERdDN2Y2RTeUlEa1FaNFdSM3dsT0I5V3c

J'ai donc une série de valeurs x connues et fixées [1,2,3,4,...100].
Je souhaites trouver des valeurs de y qui correspondent à une représentation graphique connue (de type exponentielle, voir feuille de calcul google) du phénomène étudié.

En partant d'une équation exponentielle de base (de type y = a^x + b), de manière empirique, je complète l'équation afin que les valeurs y correspondent aux résultats recherchés.

Au final j'arrive à l'équation suivante :



Le coefficient (1-10^-x)x permet de diminuer les valeurs de y en fonction de la croissance de la valeur de x.
Les constantes a et b sont fixées elles aussi et permettent de régler la plage des valeurs y résultantes.

J'ai donc cette équation qui me permet de calculer y en fonction de x sur un intervalle de valeurs x déterminées.

J'essaies maintenant de résoudre l'équation inverse qui me permettrait de calculer x en fonction des valeurs d'y (toujours pour le même intervalle de valeurs de x déterminées).

J'ai entrepris de revoir quelques cours sur les log et exp pour me rafraichir la mémoire mais le résultat est très laborieux.

J'en appelle donc à vos compétences d'experts sur le sujet en vue d'obtenir un petit coup de pouce.

Comment factoriser l'équation précédente pour résoudre l'équation : x ~= ?

Cordialement,

[ft73]

no way !
Il faudra passer par une résolution numérique et non formelle.

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, il s'agit d'un problème d'ajustement.
Si vous avez un certain nombre de couples (x,y) et que vous cherchez la meilleure fonction qui représente ces couples, il s'agit bien d'un problème d'ajustement.
Je vous aurais bien calculé le fonction, mais je n'ai pas vu la liste des couples sur votre feuille.

[MathNoob]

Bonjour,
A mon avis, il s'agit d'un problème d'ajustement.
Si vous avez un certain nombre de couples (x,y) et que vous cherchez la meilleure fonction qui représente ces couples, il s'agit bien d'un problème d'ajustement.
Je vous aurais bien calculé le fonction, mais je n'ai pas vu la liste des couples sur votre feuille.

Bonjour Dlzlogic,

Les couples sont les suivants :

1 90,9
2 392,98
3 898,297
4 1600,3596
5 2500,87495
6 3600,978394
7 4900,9965693
8 6400,99948792
9 8100,999927091
10 10000,999989999
40 160001
90 810001

Les valeurs de constantes utilisées pour obtenir ces couples sont : a = 1 et b = 10

Cordialement,

[Dlzlogic]

J'avais vu cette liste, mais c'est pas ça dont je voulais parler.
Sauf les 2 premières valeurs, la fonction est y = (10 x)², à très peu de choses près.
D'où x=sqrt(y) / 10

J'avais cru comprendre qu'il s'agissait d'observation, suite à une expérience et que vous vouliez numériser le résultat, en fonction des valeurs observées.

[MathNoob]

J'avais vu cette liste, mais c'est pas ça dont je voulais parler.
Sauf les 2 premières valeurs, la fonction est y = (10 x)², à très peu de choses près.
D'où x=sqrt(y) / 10

J'avais cru comprendre qu'il s'agissait d'observation, suite à une expérience et que vous vouliez numériser le résultat, en fonction des valeurs observées.

Initialement j'étais parti sur une fonction proche de la vôtre (y = (x/C)², x = sqrt(y)*C, avec C une constante ]0;1]).
J'avais l'impression, semble-t-il que la représentation graphique de la fonction exponentielle énoncée dans mon premier post correspondait plus à la représentation graphique du phénomène étudié).

Un grand merci pour vos réponses, je vais suivre votre raisonnement et donc rester sur l'approche racine carré.

Pour ma culture personnelle de néophyte en maths, pourriez vous brièvement (et/ou vulgairement) m'expliquer ce qui rend si compliqué la résolution de l'équation initiale ou même m'indiquer quelques lectures me permettant de comprendre les enjeux de cette difficulté.

[Dlzlogic]

Bon, je vous dirais, je n'ai pas regardé votre équation.
Soit elle repose sur une logique théorique, et en ce cas il est certainement possible de définir la fonction inverse, soit elle reflète ce que vous espérez le plus proche de ce que vous voulez.
Je connais un peu ce type de préoccupation, donnez-moi tous les détails par MP ou mail, s'il y a un côté confidentiel.
Pour répondre à votre dernière phrase, les maths ne sont pas un but mais un moyen. La seule question importante est "Qu'est-ce qu'on cherche ?"