Polynome irreductible

[pozor16]

J'ai un ptit probleme et j'ai besoin d'aide. Comment montrer que x^3+x^2-3x-1 est irréductible sur Q[X]?

[daiski]

supposons qu'il est réductible alors d'après la définition il existe un polynôme de degré 1 et un autre de degré 2 à coefficients dans IQ (pas d'autres choix autorisés par la définition) tels que : P= QR (je les ai notés respcetivement Q et R. donc on est sur que l'un deux (celui de d° = 1 a une racine rationnelle .
par ailleurs si on examine P , supposons qu'il admet une racine rationnelle a (qui s'écrit donc a = p/q avec p entier et q naturel non nul premiers entres eux)
alors en remplaçant dans P(a) = 0 a par sa valeur p/q et après un léger caclul on obtient : p^3 + p^2 q - 3p q^2 -q^3 =0 donc en faisanr passer à chaque fois les termes contenant p (resp.q) d'un coté on voit que p|q^3 et q|p^3 or p premier avc q entraine p premier avec q^3 donc p = 1 ..de mem q =1.
finalement si P avait une racine rationnelle , celle ci ne peut être que 1/1=1 mais malheureusement 1 ne vérifie pas P(1)=0 donc le procès est terminé P n'a pas de racines rationnelles et donc infactorisable de la forme citée au début et est donc irréductible (sur IQ)