Annabac T°S sur les fonctions logarithme

[madly]

Bonjour à tous. Je suis en Terminale S et j'essaye de faire des Annabac pour m'entrainer au bac blanc. Je connais les notions du cours, mais j'ai quelques lacunes : certains des résultats que j'ai trouvé ne me semble pas corrects et d'autres restent introuvables pour moi (j'ai quelques problèmes avec les factorisations).

(C'est un exercice du bac de juin 2008 en Amérique du Nord)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1; +;)[ par f(x)=ln(x)-(1/ln(x))
On nomme (C) la courbe de f et la courbe d'équation y=ln(x)

1) En première question, il fallait étudier les variations de la fonction f ; j'ai trouvé f'(x)=[(ln x)²+1]/[x(ln x)²], (ln x)²>0 alors le signe de f' dépend uniquement de x. Comme x est défini sur ]1; +;)[ alors f' est toujours positive. La courbe (C) est donc croissante sur le domaine de définition.
Pour les limites, quand x;)1, lim f(x)=-;) car ln(1)=0 et lim (1/ln(x))=+;) ; et quand x;)+;), lim f(x)=+;) car lim ln(x)=+;) et lim (1/ln(x))=0. (Ma limite en +;) me semble fausse...)

2) Déterminer lim [f(x)-ln(x)] quand x;)+;) et interpréter géométriquement. Est-ce que cette limite est indéterminée ? Car j'ai toujours des soucis avec les limites en +;).
J'ai remarqué que ln(x) dans cette limite était l'équation de , et donc qu'en fonction de mon résultat la courbe (C) sera au-dessus ou en-dessous de . Mais j'ai trouvé lim [f(x)-ln(x)]=lim [ln(x)-(1/ln(x))-ln(x)] et je trouve lim=-;), ce qui est faux je pense.

Merci d'avance pour votre aide.
Madly. :we:

[didou31]

Bonjour à tous. Je suis en Terminale S et j'essaye de faire des Annabac pour m'entrainer au bac blanc. Je connais les notions du cours, mais j'ai quelques lacunes : certains des résultats que j'ai trouvé ne me semble pas corrects et d'autres restent introuvables pour moi (j'ai quelques problèmes avec les factorisations).

(C'est un exercice du bac de juin 2008 en Amérique du Nord)

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1; +;)[ par f(x)=ln(x)-(1/ln(x))
On nomme (C) la courbe de f et la courbe d'équation y=ln(x)

1) En première question, il fallait étudier les variations de la fonction f ; j'ai trouvé f'(x)=[(ln x)²+1]/[x(ln x)²], (ln x)²>0 alors le signe de f' dépend uniquement de x. Comme x est défini sur ]1; +;)[ alors f' est toujours positive. La courbe (C) est donc croissante sur le domaine de définition.
Pour les limites, quand x;)1, lim f(x)=-;) car ln(1)=0 et lim (1/ln(x))=+;) ; et quand x;)+;), lim f(x)=+;) car lim ln(x)=+;) et lim (1/ln(x))=0. (Ma limite en +;) me semble fausse...)

2) Déterminer lim [f(x)-ln(x)] quand x;)+;) et interpréter géométriquement. Est-ce que cette limite est indéterminée ? Car j'ai toujours des soucis avec les limites en +;).
J'ai remarqué que ln(x) dans cette limite était l'équation de , et donc qu'en fonction de mon résultat la courbe (C) sera au-dessus ou en-dessous de . Mais j'ai trouvé lim [f(x)-ln(x)]=lim [ln(x)-(1/ln(x))-ln(x)] et je trouve lim=-;), ce qui est faux je pense.

Merci d'avance pour votre aide.
Madly. :we:

Pour répondre à ta première incertitude, il me semble que grâce à la dérivée et les constatations fort justes que tu as faites à son propos, la limite en +oo ne peut être que +oo. En effet, tu as constaté que le signe de la dérivée ne dépendait que du signe de x, donc lorsque x tend vers +oo, la dérivée est positive, le taux de variation de la fonction est positif. Ce qui signifie qu'elle est croissante. Son taux de variation s'annule en +oo seulement. En fait, elle croit de moins en moins vite, certes, au fur et à mesure que x croit mais elle croit quel que soit x positif.

[didou31]

Pour la 2).
Un petit rappel s'impose sur l'indétermination d'une limite.
Très peu de limites sont indéterminées. Exemple : sin(1/x) est indéterminée qd x -> 0. Je te laisse découvrir pourquoi.
Qd on a à calculer une limite telle que x²/x qd x -> 0 (et l'immense majorité des cas). Elle n'est indéterminée qu'en apparence. Elle est parfaitement déterminée mais sa détermination n'est pas immédiate dans le sens intuitive, pour le néophyte.

Dans le cas qui t'intéresse : f(x) - ln(x) quand x -> +oo est triviale. car elle se réduit à 1 / quelque chose qui est croissant pour tout x positif. La conclusion est donc immédiate, elle tend vers ...

Quant à l'interprétation géométrique n'est pas plus compliquée à conclure. J'ai envie de dire, c'est la simple conséquence de la valeur de la limite.

[madly]

Merci beaucoup.
Pour le 2), f(x)-ln(x) tend donc vers 0 ?! Je n'ai pas pensé à ça. Merci beaucoup.
Mais comme elle tend vers 0- (puisqu'il y a un moins devant le 1/ln(x)), ça voudrait dire que (C) est en-dessous de ;).
Et il y a une asymptote horizontale en +;) d'équation A: y=0 si je ne me trompe pas.

D'accord, eh bien, je te remercie pour ton aide ! :ptdr: