Décomposition de polynomes dans R[X]

[x-buster]

Bonjour,
mon énoncé est le suivant : Décomposer X^8+1 en produit de facteurs irréductibles dans R[X] puis en déduire cos(pi/8).

Donc j'ai décomposé X^8+1 comme suit : X^8+1 = (X^4 - sqrt(2)*X² + 1)*(X^4 + sqrt(2)*X² + 1).
Le problème c'est que je ne vois pas comment faire pour en déduire cos(pi/8).
Je sais bien que cos(pi/8) va être racine du polynôme mais je ne vois pas comment déduire sa valeur.

[XENSECP]

Hum je dirais plutôt que est racine du polynôme...

Sinon t'es sûr qu'il faut factoriser dans R seulement ?

[Le_chat]

(X^4 - sqrt(2)*X² + 1) n'est pas irréductible, il est de degré >2. Pareil pour ton autre facteur.

[Doraki]

Essaye de résoudre ton équation par radicaux dans C (par une succession d'équations de degré 2), puis à la fin tu regroupes tes racines complexes avec leurs conjugués pour avoir la factorisation dans R.

Si tu sais comment calculer une racine carrée d'un nombre complexe en utilisant seulement des racines carrés dans R, tu devrais pouvoir le faire.


Sinon tu dis que pour tout a et b il existe c dans C facile à calculer tel qu'on ait la factorisation (X^4 + aX² + b²) = (X²+cX+b)(X²-cX+b). Et tu résous comme ça. Ca ressemble un peu plus à ce que tu as commencé à faire.

[XENSECP]

Essaye de résoudre ton équation par radicaux dans C (par une succession d'équations de degré 2), puis à la fin tu regroupes tes racines complexes avec leurs conjugués pour avoir la factorisation dans R.

Je suis d'accord sur le principe

(X^4 - sqrt(2)*X² + 1) n'est pas irréductible, il est de degré >2. Pareil pour ton autre facteur.

C'est pas faux, tout polynôme peut se scinder dans R avec des monôme de degré 1 ou 2