DM difficile en spé math

[eas]

Bonjour j'ai un exercice :

Les nombres Fermat
Pierre Fermat (16001-1665) est à l'origine de nombreux problèmes d'arithmétique .
Il étudia en particulier les nombres Fn de la forme 2^2^n +1 et qui portent aujourd'hui son nom .
1. Calculer F0,F1,F2, et F3 et vérifier que ces nombres sont premiers .
2 . Fermat pensait que tous les nombres Fn étaient premiers mais Euler affirma plus tard que F5 ne l'était pas .
Créer, dans votre calculatrice, un programme donnant la décomposition en facteurs premiers d'un entier ( page 20 de votre livre ) . Tester Le programme avec un entier pas trop grand puis utiliser le pour démontrer que F5 n'est pas premier .
3. Le but de cette question est de démontrer que 2 nombres distincts de Fermat sont toujours premiers entre eux .
Soit n et k deux entiers naturels non nuls . on pose : x=2^2^n
(a) Exprimer en fonction de x les nombres Fn et F(n+k) .
(b) Démontrer que F(n+k)-2 est divisible par Fn . On pourra alors utiliser par récurrence sur l'entier k .
(c) En déduire que : Pgcd (Fn; F(n+k) )= Pgcd (Fn;2).
(d) Conclure que Fn et F(n+k) sont premiers entre eux .



F0=2^1+1=3
F1=2^2+1=5
F2=2^4+1=17
F3=2^8+1=257

ils sont premiers

F4=2^16 +1=64*1024+1=65 537
F5=2^32 +1=4 294 967 297


3.(a) F(n+k)=4^(n+k)+1 =x^k +1
Fn= x+1
(b) Là je n'arrive pas :triste:
(c) non plus :hum:

Si quelqu'un pourrai m'aider ça sera vraiment très gentil

Merci beaucoup d'avance

[rabihaudi]

Bonjour j'ai un exercice :

Les nombres Fermat
Pierre Fermat (16001-1665) est à l'origine de nombreux problèmes d'arithmétique .
Il étudia en particulier les nombres Fn de la forme 2^2^n +1 et qui portent aujourd'hui son nom .
1. Calculer F0,F1,F2, et F3 et vérifier que ces nombres sont premiers .
2 . Fermat pensait que tous les nombres Fn étaient premiers mais Euler affirma plus tard que F5 ne l'était pas .
Créer, dans votre calculatrice, un programme donnant la décomposition en facteurs premiers d'un entier ( page 20 de votre livre ) . Tester Le programme avec un entier pas trop grand puis utiliser le pour démontrer que F5 n'est pas premier .
3. Le but de cette question est de démontrer que 2 nombres distincts de Fermat sont toujours premiers entre eux .
Soit n et k deux entiers naturels non nuls . on pose : x=2^2^n
(a) Exprimer en fonction de x les nombres Fn et F(n+k) .
(b) Démontrer que F(n+k)-2 est divisible par Fn . On pourra alors utiliser par récurrence sur l'entier k .
(c) En déduire que : Pgcd (Fn; F(n+k) )= Pgcd (Fn;2).
(d) Conclure que Fn et F(n+k) sont premiers entre eux .



F0=2^1+1=3
F1=2^2+1=5
F2=2^4+1=17
F3=2^8+1=257

ils sont premiers

F4=2^16 +1=64*1024+1=65 537
F5=2^32 +1=4 294 967 297


3.(a) F(n+k)=4^(n+k)+1 =x^k +1
Fn= x+1
(b) Là je n'arrive pas :triste:
(c) non plus :hum:

Si quelqu'un pourrai m'aider ça sera vraiment très gentil

Merci beaucoup d'avance

F(n+k)=(x^2k)+ 1 et non x^k +1.
pour montrer que que F(n+k)-2 est divisible par Fn supposer que la propriete est vrai pour F(n+k)-2 c.a.d (x^2k)-1=k'(x+1) ou en d'autre termes x^2k=k'(x+1)+1 et montrer que F(n+k+1)-2 est divisible par x+1 et tu trouve le resultat.

[el niala]

je trouve la récurrence un peu superflue, en remarquant que x^2k - 1 = (x²)^k - 1 est divisible
par x²-1=(x+1)(x-1) on a le résultat directement
la suite coule de source puisque les Fn sont tous impairs