Besoin d'un indice

[nekochan]

Bonjour,

je suis tombé récemment sur la question suivante : existe-t-il une bijection croissante de Q dans Q-{0}?

Non seulement je n'ai pas la réponse, mais je n'arrive même pas à intuiter si c'est plutôt oui ou non et comment m'y prendre. Est-ce facile ? Y a-t-il un truc tout bête que je ne vois pas ? Merci pour tout indice sur la question !

[nuage]

Bonjour,

je suis tombé récemment sur la question suivante : existe-t-il une bijection croissante de Q dans Q-{0}?

Non seulement je n'ai pas la réponse, mais je n'arrive même pas à intuiter si c'est plutôt oui ou non et comment m'y prendre. Est-ce facile ? Y a-t-il un truc tout bête que je ne vois pas ? Merci pour tout indice sur la question !

Salut,
à mon avis non.
Soit f une bijection de Q dans Q*
On peut regarder l'image des rationnels strictement positifs (f+)ou celle des rationnels strictement négatifs(f-).
f+ est minoré par f(0) et f- est majorée par f(0) si f est strictement croissante (ce qui est le cas si f est croissante et bijective).
f(0) ne peut-être un rationnel.

[nekochan]

Salut,
à mon avis non.
Soit f une bijection de Q dans Q*
On peut regarder l'image des rationnels strictement positifs (f+)ou celle des rationnels strictement négatifs(f-).
f+ est minoré par f(0) et f- est majorée par f(0) si f est strictement croissante (ce qui est le cas si f est croissante et bijective).
f(0) ne peut-être un rationnel.

Euh, je n'ai pas compris pourquoi f(0) ne peut pas être rationnel ?

[Doraki]

Il y en a plein. Q et Q*, topologiquement, c'est la même chose.

[nekochan]

Certes... mais déjà prouver l'existence d'une seule, cela me conviendrait parfaitement (je suppose que pour la définition explicite c'est trop demander) !