Valeur propre d'un endomorphisme

[ilsraa]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un peut me donner un coup de pouce pour ça:

http://imageshack.us/photo/my-images/88/doc1512111.png/

V* est la transposé de V ici.

Merci beaucoup!

[Nightmare]

Tout d'abord pour commencer, quelle est la définition d'une valeur propre? Donc que faut-il chercher?

Une fois ceci-dit, vois-tu des valeurs propres évidentes?

[ilsraa]

Tout d'abord pour commencer, quelle est la définition d'une valeur propre? Donc que faut-il chercher?

Une fois ceci-dit, vois-tu des valeurs propres évidentes?

C'est l'ensemble des scalaire a tel que:

det(x+f(x)v-aI)
I étant la matrice identité.

Je ne vois rien d'évident...

[Nightmare]

Es-tu sûr que ce soit la définition d'une valeur propre? Pour moi, c'est plutôt une propriété...

[ilsraa]

a est une valeur propre de u si et seulement si:

il existe un x appartenant a un endomorphisme, avec x pas égale a 0.I telle que u(x)=ax

C'est ça, si oui comment je fais maintenant?
Merci pour ton aide!

[Nightmare]

il existe un x appartenant a un endomorphisme

Je ne comprends pas du tout ceci!

[ilsraa]

Ok je me suis mal exprimer.
J'ai trouver x+f(x)v=ax
a étant la valeur propre.
Mais je ne vois toujours pas les solutions évidentes.

[ilsraa]

http://imageshack.us/photo/my-images/209/24634529.png/

[Nightmare]

Ok, il s'agit donc de trouver a de telle sorte qu'il existe x tel que x+f(x)v=ax.

Première réflexion : Que se passe-t-il en prenant un x tel que f(x)=0?

Deuxième réflexion plus poussée : Que se passe-t-il en composant l'égalité par f?

[ilsraa]

Ok donc quand f(x)=0
On a 1 comme valeur propre.

f(x)=(ax-x)/v
c'est ça se que tu voulais dire?

[Nightmare]

Ok pour 1 comme valeur propre.

Pour ce qui est de la composition par f, je te demandais de partir de l'égalité x+f(x)v=ax et de composer à droite et à gauche par f :

x+f(x)v=ax => f(x+f(x)v)=f(ax) => ....

[ilsraa]

Je ne vois pas où tu veut aller avec ça... Qu'est-ce que ça nous permet de calculer? Désolé pour toute ces questions..
Merciiii enormenent pour ton aide!!!

[Nightmare]

f(x+f(x)v)=f(ax)

Peux-tu simplifier les deux membres de cette égalité? N'oublie pas que f est linéaire!

L'idée de ce cheminement est d'obtenir des résultats sur a. Pour ça, on suppose que ça existe mais qu'on ne le connait pas et on trifouille jusqu'à ce qu'on obtienne une condition.

[ilsraa]

Vu que f est linéaire on a:

f(x+f(x)v)=f(ax) ==> f(x)+vf(f(x))=af(x)
==> 1+vf(1)=a
C'est juste et si oui, que puis je en conclure?

[Nightmare]

Vu que f est linéaire on a:

f(x+f(x)v)=f(ax) ==> f(x)+vf(f(x))=af(x)
==> 1+vf(1)=a
C'est juste et si oui, que puis je en conclure?

Tu es sûr du vf(f(x))? Tu es sûr déjà que ça ait un sens?

f, si j'ai bien compris l'énoncé (a priori il manque un bout) c'est une forme linéaire, donc par de V et est à valeurs dans un corps K.

Donc f(x), c'est un élément de K. Du coup, ce serait quoi f(f(x))? Attention aux objets que tu manipules qui ne vivent pas tous dans le même espace.

[ilsraa]

Tu es sûr du vf(f(x))? Tu es sûr déjà que ça ait un sens?

f, si j'ai bien compris l'énoncé (a priori il manque un bout) c'est une forme linéaire, donc par de V et est à valeurs dans un corps K.

Donc f(x), c'est un élément de K. Du coup, ce serait quoi f(f(x))? Attention aux objets que tu manipules qui ne vivent pas tous dans le même espace.

on a f(x+f(x)v)=f(x)+f(f(x)v)=f(x)+vf(f(x)), je ne vois pas la faute.

Vu que f est dans la transposé de V privé de 0
x est dans V
et v est dans le Ker de f privé de 0

Donc f(x) est dans l'espace K, donc f(f(x)) aussi non?

[Nightmare]

on a f(x+f(x)v)=f(x)+f(f(x)v)=f(x)+vf(f(x)), je ne vois pas la faute.

Vu que f est dans la transposé de V privé de 0
x est dans V
et v est dans le Ker de f privé de 0

Donc f(x) est dans l'espace K, donc f(f(x)) aussi non?

Tu sembles très mal connaître les objets que tu emploies, ça ne peut que compliquer la compréhension de l'exercice.

V* ce n'est pas la transposée de f mais son dual, autrement dit, l'ensemble des formes linéaires de V. Une forme linéaire d'un K-ev V, c'est une application linéaire de V dans K.

Donc ici, en prenant par exemple K=R, f est une application de V dans R. Elle prend donc des vecteurs et renvoie des réels.

Pour que f(machin) ait un sens, il faut que machin soit dans V. Mais f(x) est dans R, pas dans V, donc f(f(x)) ça n'a pas de sens.

Dans l'écriture f(x)v, f(x) est un scalaire affecté à v, comme si on écrivait 2v ou .

Donc f[f(x)v] se simplifie en f(x).f(v), tout comme f(2v) se simplifierait en 2f(v) (sauf qu'on a f(x) à la place de 2).

Au final, le membre de gauche donne f(x)+f(x)f(v). Mais par définition de v, f(v)=0, donc au final le membre de gauche composé avec f donne f(x).

le membre de droite quant à lui est f(ax), ce qui donne af(x) par linéarité.

Autrement dit, après avoir composé par f, on obtient que f(x)=af(x), donc...

N'hésite pas à poser des questions si tu ne comprends pas quelque chose expliquée ci dessus.

[ilsraa]

Tu sembles très mal connaître les objets que tu emploies, ça ne peut que compliquer la compréhension de l'exercice.

V* ce n'est pas la transposée de f mais son dual, autrement dit, l'ensemble des formes linéaires de V. Une forme linéaire d'un K-ev V, c'est une application linéaire de V dans K.

Donc ici, en prenant par exemple K=R, f est une application de V dans R. Elle prend donc des vecteurs et renvoie des réels.

Pour que f(machin) ait un sens, il faut que machin soit dans V. Mais f(x) est dans R, pas dans V, donc f(f(x)) ça n'a pas de sens.

Dans l'écriture f(x)v, f(x) est un scalaire affecté à v, comme si on écrivait 2v ou .

Donc f[f(x)v] se simplifie en f(x).f(v), tout comme f(2v) se simplifierait en 2f(v) (sauf qu'on a f(x) à la place de 2).

Au final, le membre de gauche donne f(x)+f(x)f(v). Mais par définition de v, f(v)=0, donc au final le membre de gauche composé avec f donne f(x).

le membre de droite quant à lui est f(ax), ce qui donne af(x) par linéarité.

Autrement dit, après avoir composé par f, on obtient que f(x)=af(x), donc...

N'hésite pas à poser des questions si tu ne comprends pas quelque chose expliquée ci dessus.

Merci beaucoup, en effet je n'avais pas très bien compris, mais maintenant c'est bon.
MERCI et bonne soirée!

[Nightmare]

Merci beaucoup, en effet je n'avais pas très bien compris, mais maintenant c'est bon.
MERCI et bonne soirée!

Je t'en prie, bonne soirée à toi.