Bonjour je ne comprend pas une définition

[lanapurna16]

bonjour voila j'étudie la topologie et il y a une définition dans mon cours que je ne comprend pas : la définition d'une partie ouverte.
voila la définition de mon cours : on dit qu'une partie O d'un espace métrique E,d est une partie ouverte de E si O est vide ou si tout point de O est centre d'une boule ouverte incluse dans O.

pourriez vous m'expliquer de facon simple cette définition svp ? a la limite me faire un dessin ou un exemple ou meme les deux lol .
je vous remercie d'avance

[Monsieur23]

Aloha,

Sais-tu ce qu'est une boule ouverte déjà ?

Une partie ouverte, en gros, ça veut dire qu'aucun point n'est "au bord". Si tu prends un point x dans ton ensemble, il est à une distance d>0 du bord, et donc la boule de centre x et de rayon d/2 est entièrement incluse dans l'ouvert.

[Sylviel]

Une partie ouverte veut dire "qu'elle ne contient pas son bord" :
en tout point de O tu peux avancer d'un pas (éventuellement très petit) dans toute direction sans en sortir. Exemples classique :
-> ]a,b[ dans R. Si tu es en un point x de l'intervalle ouvert, tu pourras toujours avancer ou reculer un peu sans sortir. Il faudrait être sur le bord pour que ce ne soit pas le cas, et ici le bord c'est {a,b} c'est à dire les deux bornes.
-> Le disque ouvert dans R^2 : un disque sans le cercle qui dessine son contour.

[lanapurna16]

je vous remercie :)
je vois ce que c'est du cou j'ai une autre question . je pensais avoir compris ce qu'étais une boule ouverte mais au final j'en suis plu sure pourriez vous m'expliquer. surtout cette partie de phrase "si tout point de O est centre d'une boule ouverte incluse dans O."

[Skullkid]

Salut, ça correspond à ce que t'ont dit Monsieur23 et Sylviel : O est ouvert ça veut dire que si tu prends un point x de O, n'importe lequel, il existe un réel strictement positif r (éventuellement très petit) tel que tous les points qui se trouvent à une distance strictement inférieure à r de x sont aussi dans O : la boule ouverte de centre x et de rayon r est incluse dans O. Autrement dit, si tu te places sur x, tu peux faire un pas de taille non nulle et strictement inférieure à r dans n'importe quelle direction sans jamais sortir de O.

[zebullon]

Il me semble cependant qu'il faille faire attention a la difference entre un intervalle ouvert et un ensemble ouvert non ?
Prenons une topo quelconque, et un de ses ouverts: il me semble difficile de mettre une image sur ce que veut dire bouger autour d'un point de cet ouvert... ?

[Skullkid]

C'est vrai, mais ici lanapurna16 est dans le cadre des espaces métriques, donc on peut visualiser ce qu'est un ouvert. Évidemment, pour une topologie quelconque, on ne peut pas vraiment expliquer ce qu'est un ouvert autrement que par "c'est un élément de la topologie"...

[lanapurna16]

je vous remercie beaucoup