Convergence en probabilité et majoration de l'espérance

[Stalinou]

Bonjour,

Je suis nouveau sur le forum et j'écris ce message parce que j'ai besoin d'aide au sujet d'une convergence $L^1$. Le problème est le suivant:
Etant donnée une suite $X_n$ de variables aléatoires (positives) telle que $nX_n$ converge en probabilité vers 0. Est-il vrai que l'espérance de $X_n$ est finie et qu'elle est uniformément bornée en $n$? (c'est-à-dire que \sup_{n}E[X_n] est fini). Il s'agit d'une question que je me suis posée et je n'ai aucune idée de la réponse.

J'attends vos réponses.
Bien à vous et bien cordialement,

Stalinou.

[girdav]

On peut prendre telle que . Alors on a la positivité, la convergence en probabilité vers de mais , donc le n'est pas fini.

[Stalinou]

Merci, girdav, pour ta réponse!
Est-ce que tu connais un contre-exemple où les variables aléatoires ont toutes une densité continue?
Stalinou.

[girdav]

Ici, on peut prendre une variable aléatoire non intégrable, puisque tu veux un exemple à densité on peut prendre la loi de Cauchy, de densité , qui n'est pas intégrable. On prend une variable aléatoire de densité si (pour avoir positive), sinon, puis on pose . On a la convergence presque sûre vers , donc en probabilités, mais n'est pas intégrable.